今天的问题是群表示论在物理中的一个小应用：

这里 简正模式 的含义是所有质点按照一个共同的频率和固定的相位关系相对于各自的平衡位置作简谐振动。

著名概率学家 Feller 在他的名著 “An introduction to probability and its applications” 中提到了这样一个实验：

重复抛掷一枚均匀的硬币，用 H 代表正面向上，T 代表背面向上，一直到连续出现 6 次 H 为止。这里连续 6 个 Ｈ 组成的模式记作 HHHHHH，所需要抛掷硬币的次数叫做等待时间。等待时间是一个随机变量，最小值是 6，最大值可以是无限。Feller 问：等待时间的均值是多少？

这个问题可以用 Markov 链来解，但是非常繁琐。香港中文大学李硕彦教授在他的论文

A Martingale Approach to the Study of Occurrence of Sequence Patterns in Repeated Experiments.

中用离散鞅的知识给出了一个简洁而巧妙的解法，本文就来介绍他的方法。

我们的问题源自中世纪威尔士人的故事集《Mabinogion》中的一段：

一个男孩来到了一个美丽的山谷，有一条小河在谷中流淌。他看到河一边的草地上有一群黑绵羊，另一边的草地上有一群白绵羊。羊群被施以一种魔法：每个时刻都恰有一只绵羊发出咩咩的叫声。如果发出叫声的是白绵羊，就会有一只黑绵羊趟过小河跑过来并且变成白绵羊；如果发出叫声的是黑绵羊，则会有一只白绵羊趟过小河跑过去并且变成黑绵羊。每个时刻发出叫声的绵羊是完全随机的，整个过程没有绵羊出生或者死亡，一直持续到所有绵羊都变成同一种颜色为止。

问题是这样的：

问题：如果男孩可以选择在初始时刻 \(0\)，或者是每个魔法时刻 \(1,2,\ldots\) 结束后将任意数量的白绵羊赶出山谷，那么为了最终得到尽可能多的黑绵羊，他应该采取怎样的策略？

本文的问题出自 Williams 的教材 Probability with Martingales，虽然不算很难但是综合使用了许多知识，展示了抽象的鞅理论其实有着丰富多彩的应用。

问题：一艘太空船正在宇宙中做星际航行时，飞船的控制系统出了故障，飞船不能正常地进行空间跳跃，而是只能预先设定一个距离，然后以此距离进行一次方向完全随机的跳跃。现在飞船想要返回太阳系。假设太阳系的半径是 \(r\)，发生故障时飞船与太阳的距离为 \(R>r\)。好消息是在每个时刻，飞船能够知道自身与太阳系的距离。

求证：不论采用怎样的跳跃策略，飞船返回太阳系的概率都小于 \(r/R\)；但是对任何 \(\epsilon>0\)，可以采取适当的策略，使得飞船返回太阳系的概率大于 \((r-\epsilon)/R\)，即 \(r/R\) 是最优概率。这个最优策略是什么？

在数学中有那么一些问题，它们的表述简单而初等，但是解决起来却非常困难，往往需要相当的奇思妙想和深刻的工具，而且围绕这个问题许多不同领域的数学交织在一起，演绎出许多奇妙的故事来。

Young 表就是其中一个精彩的例子，组合数学，表示论，概率论在这里发生了奇妙的交汇。

我们先从一个有趣的问题开始：

问题：\(n\) 位选民要在一次选举中给 \(m\) 个候选人投票，每个选民只能投一票。已知第 \(i\) 位候选人最终的得票数为 \(\lambda_i\)，这里 \(\sum_{i=1}^m\lambda_i=n\) 且 \(\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_m\)。问题是：有多少种不同的得票序列，使得在投票过程中的任一时刻，对任何的 \(i<j\)，第 \(i\) 位候选人所得的票数总不少于第 \(j\) 位候选人所得的票数？

举个例子，假设有 \(n=10\) 位选民和 \(m=4\) 个候选人，则得票序列 \[1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 4, 3, 1\] 表示第一个选民投票给 1 号，第二个选民投票给 2 号，第三个选民投票给 1 号，第四个选民投票给 3 号，依次类推。符合问题要求的序列必须满足对任何 \(1\leq k\leq n\) 和 \(1\leq i<j\leq m\)，序列的前 \(k\) 项中数字 \(i\) 出现的次数都大于等于数字 \(j\) 出现的次数。

虽然问题的表述很简单，但其实答案相当复杂，叫做钩子长度公式 (hook length formula)。钩子长度公式有多种不同的证明，但我最喜欢的方法是使用 Schur 多项式的理论，我接下来就来介绍它。