二次型的惯性指数问题

我在研究生期间给学弟学妹们当高等代数课助教时，除了改改作业，讲讲习题，还经常需要出一些有点巧妙但又不太复杂的题目帮助他们理解所学内容。某一次我出了这样一道题：

问题：我们知道如果 \(A\) 是一个对称矩阵，\(T\) 是一个可逆矩阵，则 \(B=T'AT\) 也是对称矩阵且 \(A,B\) 合同 (congruent)，所以它们有相同的正负惯性指数。如果 \(T\) 是不可逆矩阵呢？这时 \(A\) 和 \(B\) 的正负惯性指数有怎样的关系？

当时班上无人能立刻给出答案。

其实这个题目不过是我把他们作业中的一道题改了改说法而已：

讲述 Wedderburn-Artin 定理的教材已经非常多了，在介绍群表示论或者非交换环的书里通常都可以找到，证明途径也大同小异。据我个人的体会，讲群表示论的书往往只介绍有限维群代数的情形，显得不太够用；而讲非交换环的书则喜欢从 Jacobson 根和密度定理讲起，念起来很让人劝退。我觉得 Artinian 环情形的 Wedderburn-Artin 定理还是非常有用的。我打算仿照 Curtis 和 Reiner 的的方式 (Curtis and Reiner 1962)，按照当年 Wedderburn 的思路展开叙述，即通过极大幂零理想来定义半单性。这种方式的好处是每一步的动机都比较自然，至少比上来就丢出一个 Jacobson 根的定义让人舒服一些。

本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告，目的是介绍中心单代数的三个基本结论：

1. 中心单代数对张量积运算是封闭的。
2. Noether-Skolem 定理。
3. 双重中心化子定理。

这部分内容比较古老，在很多教材上都有，但是采用的途径却很不一样，找一个完全符合自己口味的讲述不是件容易的事情。Jacobson 的书我念的就很抓狂。后来查阅了不少教材后经过提炼整理得到了本文，希望我的表述做到了清楚易懂。

Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。

Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，专门为它写一篇长文好像有点多余：这方面的教材讲义实在是太多了！一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢？

理由有两个。第一个原因是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候，突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法，照念几个不在话下，但是感觉有点疙疙瘩瘩的：怎么才能说清定理背后的想法，让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢？于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。

第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的，而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形，这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。