在数学中有那么一些问题，它们的表述简单而初等，但是解决起来却非常困难，往往需要相当的奇思妙想和深刻的工具，而且围绕这个问题许多不同领域的数学交织在一起，演绎出许多奇妙的故事来。

Young 表就是其中一个精彩的例子，组合数学，表示论，概率论在这里发生了奇妙的交汇。

我们先从一个有趣的问题开始：

问题：\(n\) 位选民要在一次选举中给 \(m\) 个候选人投票，每个选民只能投一票。已知第 \(i\) 位候选人最终的得票数为 \(\lambda_i\)，这里 \(\sum_{i=1}^m\lambda_i=n\) 且 \(\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_m\)。问题是：有多少种不同的得票序列，使得在投票过程中的任一时刻，对任何的 \(i<j\)，第 \(i\) 位候选人所得的票数总不少于第 \(j\) 位候选人所得的票数？

举个例子，假设有 \(n=10\) 位选民和 \(m=4\) 个候选人，则得票序列 \[1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 4, 3, 1\] 表示第一个选民投票给 1 号，第二个选民投票给 2 号，第三个选民投票给 1 号，第四个选民投票给 3 号，依次类推。符合问题要求的序列必须满足对任何 \(1\leq k\leq n\) 和 \(1\leq i<j\leq m\)，序列的前 \(k\) 项中数字 \(i\) 出现的次数都大于等于数字 \(j\) 出现的次数。

虽然问题的表述很简单，但其实答案相当复杂，叫做钩子长度公式 (hook length formula)。钩子长度公式有多种不同的证明，但我最喜欢的方法是使用 Schur 多项式的理论，我接下来就来介绍它。

Schur 多项式：组合定义

设 \(\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots)\) 是一个元素都是非负整数且只有有限多项非 0 的序列，如果有 \(\lambda_1\geq \lambda_2\geq\cdots\) 成立，就称 \(\lambda\) 是一个整数分拆，简称分拆，并记 \(|\lambda|=\sum\limits_{i=1}^\infty \lambda_i\)。由于 \(\lambda\) 只有有限多项大于 0，\(|\lambda|\) 总是一个有限的数。如果 \(|\lambda|=k\) 就称 \(\lambda\) 是整数 \(k\) 的分拆，记作 \(\lambda\vdash k\)。此外用 \(l(\lambda)\) 表示 \(\lambda\) 中非零项的个数。

对每个分拆 \(\lambda\vdash k\)，我们可以用一个图 \(F_\lambda\) 来表示它：\(F_\lambda\) 由 \(k\) 个方格组成，第一行有 \(\lambda_1\) 个方格，第二行有 \(\lambda_2\) 个方格，. . . 以此类推，每一行都是左对齐的，总共有 \(l(\lambda)\) 行。\(F_\lambda\) 叫做 \(\lambda\) 的 Ferrers 图。例如下图是分拆 \(\lambda=(4, 2, 2, 1)\) 的 Ferrers 图。

注意 \(\lambda\) 中的零分量不出现在 Ferrers 图中。

将 \(F_\lambda\) 转置 （第一行变第一列，第二行变第二列，等等） 后得到的也是一个 Ferrers 图，其对应的分拆为 \(\lambda'=(\lambda_1',\lambda_2',\ldots,\lambda_r')\)，其中每个 \(\lambda_i'\) 是 \(\lambda\) 的 Ferres 图的第 \(i\) 列的长度，\(r=\lambda_1\)。\(\lambda'\) 叫做 \(\lambda\) 的共轭分拆，例如上图转置后得到的共轭分拆为 \(\lambda'=(4, 3, 1, 1)\)：

在 \(F_\lambda\) 的每个方格中填入正整数，使得每一行从左到右是弱递增的，每一列从上到下是严格递增的，这样得到的表格叫做半标准 Young 表 (semistandard Young tableaux)，简称为 SSYT；如果一个形状为 \(\lambda\vdash n\) 的半标准的 Young 表包含的数字恰好为集合 \(\{1,2,\ldots,n\}\)，则称其为一个标准 Young 表 (standard Young tableaux)，简称为 SYT。标准 Young 表由于数字互不相同所以也是行严格递增的。例如下图分别显示的是形状为 \(\lambda=(4, 3, 2,1)\) 的一个半标准和一个标准 Young 表。

我们用记号 \({\rm SSYT}(n,\lambda)\) 表示所有形状为 \(\lambda\) 且填入的数字不超过 \(n\) 的半标准 Young 表组成的集合，显然此集合非空则必有 \(n\geq l(\lambda)\)。当 \(|\lambda|=n\) 时我们也将其简写为 \({\rm SSYT}(\lambda)\)。用记号 \({\rm SYT}(\lambda)\) 表示所有形状为 \(\lambda\) 的标准 Young 表组成的集合。

文章开头的投票序列问题本质上是计算集合 \({\rm SYT}(\lambda)\) 的个数。实际上所有符合要求的投票序列与 \({\rm SYT}(\lambda)\) 是一一对应的：依次处理数字 \(j=1,2,\ldots,n\)，如果选民 \(j\) 将票投给了候选人 \(i\)，则将数字 \(j\) 填入 \(\lambda\) 的 Ferrers 图的第 \(i\) 行从左边数起第一个空着的方格中。所有 \(n\) 个数字填写完后得到的就是一个标准 Young 表 \(T\)。反之对任何标准 Young 表 \(T\) 还原出对应的投票序列也是显然的。

例如上面的标准 Young 表

对应的得票序列为 （序列的第 \(j\) 项为选民 \(j\) 选择的候选人编号） \[1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 4, 3, 1\]

这是因为如果第 \(k\) 个选民投票给第 \(j\) 个候选人，导致候选人 \(j\) 的得票数大于某个候选人 \(i\,(i<j)\) 时，第 \(j\) 行填入的 \(k\) 上方对应的第 \(i\) 行的方格此时是空的，这个方格未来只能填入 \(>k\) 的数字，这样的 Young 表当然不是标准的。反之对一个标准 Young 表，其所有 \(\leq k\) 的方格构成一个子 Young 表 \(T_k\)，其每行长度是当前第 \(i\) 个候选人的得票数，当然是递减的，所以它给出一个满足要求的投票序列。

为了解决 \({\rm SYT}(\lambda)\) 的计数问题，我们需要引入 Schur 多项式的概念，Schur 多项式可以看作是半标准 Young 表的“生成函数”。

取定一个正整数 \(n\)，\(\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) 是一个非零项个数不超过 \(n\) 的分拆 （允许某些 \(\lambda_i\) 为零），\(T\in {\rm SSYT}(n,\lambda)\) 是一个半标准 Young 表，记 \(c(T)=(c_1,c_2,\ldots,c_n)\) 为 \(T\) 的容度 (content) 向量，其中 \(c_i\) 是 \(T\) 中数字 \(i\) 出现的次数。记 \[X^{c(T)} = x_1^{c_1}x_2^{c_2}\cdots x_n^{c_n}.\] \(X^{c(T)}\) 是一个单项式。

例如对 \(n=10\) 和 \(\lambda=(4,3,2,1)\)，上面的半标准 Young 表

的容度为 \((2, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0)\)，其对应的单项式为 \[X^{c(T)} = x_1^2x_2^2x_3^2x_4x_5x_6x_8.\]

Schur 多项式的组合定义：设 \(n\) 是一个正整数，\(\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) 是一个长度不超过 \(n\) 的分拆 （允许某些 \(\lambda_i\) 为零），定义 \(n\) 变元多项式 \[s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{T\in {\rm SSYT}(n,\lambda)}X^{c(T)}.\] \(s_\lambda\) 叫做 \(n\) 变元的 Schur 多项式。

这里需要注意的是 \(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 只有在 \(l(\lambda)\leq n\) 时才有定义。

例：对 \(\lambda=(3,2)\)， \[\begin{align*}s_{(3,2)}(x_1,x_2,x_3) \,= \, & x_1^3x_2^2 + x_1^3x_3^2 + x_1^3x_2x_3 + x_1^2x_2^3 + x_1^2x_3^3 + 2x_1^2x_2x_3^2 + \\ &2x_1^2x_2^2x_3 +x_1x_2x_3^3 + 2x_1x_2^2x_3^2 + x_1x_2^3x_3 + x_2^2x_3^3 + x_2^3x_3^2. \end{align*}\]

其中前几项对应的半标准 Young 表如下：

\(x_1^3x_2^2\)	\(x_1^3x_3^2\)	\(x_1^3x_2x_3\)	\(x_1^2x_2^3\)	\(x_1^2x_3^3\)
1 1 1 2 2	1 1 1 3 3	1 1 1 2 3	1 1 2 2 2	1 1 3 3 3

可以看到虽然 Schur 多项式的定义很直观，但写出它的具体表达式来却并不容易，为此我们需要找到 Schur 多项式的其它表现形式。首先我们将证明 Schur 多项式总是对称多项式。

Bender-Knuth 对合

这一节我们来证明 Schur 多项式是对称多项式，为此只要证明对任意的 \(i\)，\(s_\lambda\) 在交换 \(x_i\) 和 \(x_{i+1}\) 后保持不变即可，而这又只要说明容度为 \((\ldots,c_i,c_{i+1},\ldots)\) 的半标准 Young 表与容度为 \((\ldots,c_{i+1},c_i,\ldots)\) 的半标准 Young 表一一对应即可。看起来只要对每个形状为 \(\lambda\) 的半标准 Young 表，把其中的数字 \(i\) 全换成 \(i+1\)，同时把 \(i+1\) 全换成 \(i\) 就可以了，是吗？

问题出在这样简单粗暴地修改得到的未必还是半标准的 Young 表。我们需要仔细点选择那些翻转的方格。如果某个 \(i\) 的下方恰好是 \(i+1\)，就称这样的 \(i\) 和 \(i+1\) 是匹配了的。而那些下方没有 \(i+1\) 的 \(i\)，或者上方没有 \(i\) 的 \(i+1\) 统称为未匹配的。下面的事实不难验证：

在 \(T\) 的任意一行中，未匹配的元素总是构成一段连续的序列。即设 \(i=x\leq y\leq i+1\) 是两个未匹配的元素，则它们中间不可能有匹配的元素。

下图中演示了 \(i=2\) 的例子，绿色显示了匹配的元素，红色显示了未匹配的元素。

设在一行中，未匹配的元素是 \(r\) 个 \(i\) 后面接着 \(s\) 个 \(i+1\)，我们把这段序列替换为 \(s\) 个 \(i\) 后面接上 \(r\) 个 \(i+1\)，对 \(T\) 的每一行都进行这个操作而保持 \(T\) 的其它数字不动。在这个变换下 \(T\) 变成 \(T^\ast\)，\(T^\ast\) 仍然是半标准的：上图 \(T\) 是 3 个 2 后面跟了 2 个 3，变换后在 \(T^\ast\) 中变成了 2 个 2 后面跟了 3 个 3：

容易验证若 \(T\) 的容度为 \((\ldots,c_i,c_{i+1},\ldots)\)，则 \(T^\ast\) 的容度为 \((\ldots,c_{i+1},c_i,\ldots)\)。这个变换显然是个对合：\((T^\ast)^\ast=T\)，这就证明了 Schur 多项式是对称的。

Jacobi-Trudi 恒等式

在这一节中，我们来把 Schur 多项式表示为行列式的形式。

定义：记 \(h_k(x_1,\ldots,x_n)\) 为所有 \(k\) 次单项式的和： \[h_k(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{\begin{subarray}{c}\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=k\\\alpha_i\in\mathbb{Z}_{\geq0}\end{subarray}} x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}.\] 这里约定 \(h_0=1\)，\(k<0\) 时 \(h_{k}=0\)。\(h_k\) 也是对称多项式，叫做齐次对称多项式。

例：\(h_2(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_n^2 + \sum_{1<i<j<n}x_ix_j\)。

定理：设 \(\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{Z}^n_{\geq0}\) 为一个分拆，则 \[s_\lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\det\left( h_{\lambda_i-i+j}\right)_{1\leq i,j\leq n}.\]

注：有的写法是 \[s_\lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\det\left( h_{\lambda_i-i+j}\right)_{1\leq i,j\leq l(\lambda)}.\] 这没有区别。实际上设 \(r=l(\lambda)\)，则 \[\det\left(h_{\lambda_i-i+j}\right)_{1\leq i,j\leq n}= \det\left(\begin{array}{cc} \begin{array}{l} h_{\lambda_1}&h_{\lambda_1+1} &\cdots & h_{\lambda_1+r-1}\\ h_{\lambda_2-1}&h_{\lambda_2} &\cdots & h_{\lambda_2+r-2}\\ & & \cdots & \\ h_{\lambda_r-(r-1)}&h_{\lambda_r-(r-2)}&\cdots & h_{\lambda_r} \end{array} & \Large\ast \\ \Large 0 & \begin{matrix}1&&\\&\ddots&\\&&1\end{matrix}\end{array}\right). \] 显然它等于左上角的主子式。

证明要用到 Gessel-Viennot 的不相交格点路径组方法。关于这个方法你可以参考我之前的 一篇博文。当然

Proofs from The Book. Aigner, Martin; Ziegler, Günter (2009).

一书中的格点路径组一章也是极好的介绍。

关键是要把每个半标准 Young 表对应到一个不相交的路径组。

下面的动图显示了 \(n=6, \lambda=(5,4,3,2,0, 0)\) 时的一个形状为 \(\lambda\) 的 Young 表 \(T\)

与其不相交路径组的对应关系，\(T\) 的第 \(i\) 行是一个长度为 \(\lambda_i\) 的递增数列，这样一个数列可以对应为一条从 \((0,1)\) 到点 \((\lambda_i,n)\) 的 Gauss 路径，这个路径即为这一行的“高度图”。

我省略了 \(\lambda_i=0\) 的部分，它们对应的是权重为 1 的垂直路径，实际上不起作用：

但是半标准 Young 表的列是严格递增的，这个递减关系反映在 Gauss 路径上，就是 \(T\) 的第二行对应的路径应该整体位于第一行对应路径的上方，第三行对应的路径整体位于第二行对应的路径的上方，...，两条路径之间可以有垂直的公共边，但是不能有水平的公共边。

现在把第 \(i\) 条路径水平地向左平移 \(i\) 个单位，变成一条从 \(A_i=(-i,1)\) 到 \(B_i=(-i+\lambda_i,n)\) 的路径，则这样得到的 \(n\) 条路径两两之间没有公共点，即构成一个不相交的路径组。

反过来每一个这样的不相交的路径组也对应于一个半标准 Young 表。

令水平线 \(y=k\) 的权值为 \(x_k\)，垂直边的权值一律为 1，每条路径的权重是其所含各边的权重乘积。由于每条从 \(A_j=(-j,1)\) 到 \(B_i=(-i+\lambda_i,n)\) 的路径由于其横向长度是固定值 \(\lambda_i-i+j\)，所以其权重是关于 \(x_1,\ldots,x_n\) 的次数为 \(\lambda_i-i+j\) 的单项式，而且所有这样的单项式都可以作为某条从 \((-j,1)\) 到 \((-i+\lambda_i,n)\) 的路径的权重，从而这两点之间所有路径的权重之和为齐次对称多项式 \(h_{\lambda_i-i+j}\)，于是由 Gessel-Viennot 引理，行列式 \(\det\left(h_{\lambda_i-i+j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\) 给出了所有不相交路径组的权重之和。然而我们已经说明了这些不相交的路径组一一对应于形状为 \(\lambda\) 的标准 Young 表，并且每个路径组的权重正是它对应 Young 表的权重 \(X^{c(T)}\)，所以 \[s_\lambda=\det\left(h_{\lambda_i-i+j}\right)_{1\leq i,j\leq n}.\] 这就证明了 Jacobi-Trudi 恒等式。

钩子长度公式

有了前面的准备，我们可以开始介绍钩子长度公式和它的证明了。

首先来定义什么钩子长度：设 \(\lambda\vdash n\), \(F_\lambda\) 是其 Ferrers 图，记 \(v=(i,j)\) 为 \(F_\lambda\) 中第 \(i\) 行第 \(j\) 列位置的方格 （只考虑那些有方格的位置）。我们计算那些与 \(v\) 同行但是位置在 \(v\) 的右边，以及与 \(v\) 同列但是位置在 \(v\) 的下方的方格的总数，\(v\) 自己也算一个但是只算一次。这个数字称作 \(v\) 的钩子长度，记作 \(h_v\)。

例如 \(\lambda=(5, 4, 3, 2, 1)\) 的 Ferrers 图中，\(v=(1, 1)\) 的钩子长度 \(h_v=5\)。

一般地，\((i,j)\) 位置的方格的 hook 长度为 \(\lambda_i + \lambda'_j - i - j + 1\)。

定理 (hook length formula)： \[|{\rm SYT}(\lambda)|=f_\lambda=\frac{n!}{\prod\limits_{v\in F_\lambda}h_v}.\]

引理 A：设 \(\mu_i=\lambda_i+r-i\)，这里 \(r=l(\lambda)=\lambda_1',\,1\leq i\leq r\)，则 \[\prod_{v\in F_\lambda} h_v =\frac{\prod\limits_{i=1}^r \mu_i!}{\prod\limits_{i<j}(\mu_i-\mu_j)}.\]

引理 A 的结论可以很容易由下面的引理 B 得出：

引理 B：对固定的 \(1\leq k\leq r\)，\(F_\lambda\) 的第 \(k\) 行所有方格的钩子长度 \(\{h_{kj},1\leq j\leq\lambda_k\}\) 和集合 \(\{\mu_k-\mu_i, k\leq i\leq r\}\) 不相交，且它们的并恰好是 \(\{0,1,\ldots,\mu_k\}\)。于是第 \(k\) 行所有方格的钩子长度的乘积等于 \[\frac{\mu_k!}{\prod\limits_{k<i}(\mu_k-\mu_i)}.\]

引理的证明：这里的证明改编自 ¹。

我们以 \(F_\lambda\) 的左下角为原点 \((0,0)\)，沿着边界，每一步向右或者向上行走，并将经过的边依次标号为 \(0,1,\ldots,\lambda_1+\lambda_1'-1\)，一直到 \(F_\lambda\) 的右上角 \((\lambda_1+\lambda_1')\) 为止。

我们来分别计算竖直和水平的边的标号。

从图中容易看到，所有竖直的边和 Ferrers 图的第一列一一对应，每条边的标号正是它最左边第一个方格的钩子长度，所以这些边的标号构成集合 \[\{h_{i1},1\leq i\leq r\}=\{\lambda_i+\lambda_1'-i,1\leq i\leq r\}.\]

另一方面，所有水平的边和 Ferrers 图的第一行一一对应，每条边的标号是 \(\lambda_1+\lambda_1'-1\) 减去它到达终点 \((\lambda_1+\lambda_1')\) 所需的剩余步数。然而这个剩余步数正是它最上方第一个方格的钩子长度，所以这些边的标号构成集合 \[\{\lambda_1+\lambda_1'-1-h_{1j},1\leq j\leq \lambda_1\}=\{\lambda_1'-\lambda_j'+j-1,1\leq j\leq \lambda_1\}.\] 这两个集合的不交并构成了所有边的标号集合 \(\{0,1,\ldots,\lambda_1+\lambda_1'-1\}\)，把这两个集合中的元素同时用 \(\lambda_1+\lambda_1'-1\) 减去，得到的两个集合 \[\{\lambda_1-\lambda_i+i-1,1\leq i\leq r\} \text{\ \ and\ \ } \{\lambda_1+\lambda_j'-j,1\leq j\leq \lambda_1\}\] 的不交并仍然构成集合 \(\{0,1,\ldots,\lambda_1+\lambda_1'-1\}\)。前者正是集合 \(\{\mu_1-\mu_i,1\leq i\leq r\}\)，后者正是第一行所有方格的钩子长度，这就证明了引理 B 中 \(k=1\) 的情形。

对一般的 \(k\)，考虑删掉 Ferrers 图的前 \(k-1\) 行后剩下的部分，这仍然是一个 Young 表，对它的第一行（即原 Ferres 图的第 \(k\) 行）应用上面的结论即得。\(\blacksquare\)

最后我们来完成钩子长度公式的证明：这里使用了一个小技巧：考虑无穷多个变元的对称多项式环 \(\Lambda[x_1,\ldots,x_n,\ldots]\)，任何 \(k\) 变元的 Schur 多项式都是 \(\Lambda\) 中的元素。\(\Lambda\) 到有理数域上的单变元形式幂级数环 \(\mathbb{Q}[[t]]\) 有一个同态 \(\theta\)： \[\theta(f) = \sum_{k=0}^\infty f_k \frac{t^k}{k!}.\] 其中 \(f_k\) 是 \(f\) 中单项式 \(x_1x_2\cdots x_k\) 的系数。\(\theta\) 显然是线性的，要验证它是代数同态，对任何 \(f,g\in\Lambda\) 我们计算 \[\begin{align*} \theta(f)\theta(g) &= \left(\sum_{k=0}^\infty f_k\frac{t^k}{k!}\right)\left(\sum_{l=0}^\infty g_l\frac{t^l}{l!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k+l=n}\frac{f_kg_l}{k!l!}\right) t^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n f_kg_{n-k} C_n^k\right) \frac{t^n}{n!} \end{align*}\] 另一方面 \(fg\) 中单项式 \(x_1x_2\cdots x_n\) 的系数等于 \[\sum_{k=0}^n\sum_{\{i_1,\ldots,i_k\}\subseteq\{1,2,\ldots,n\}} f_{i_1\cdots i_k}g_{j_1\cdots j_{n-k}}.\] 其中 \(f_{i_1\cdots i_k}\) 为单项式 \(x_{i_1}\cdots x_{i_k}\) 在 \(f\) 中的系数，\(g_{j_1\cdots j_{n-k}}\) 为单项式 \(x_{j_1}\cdots x_{j_{n-k}}\) 在 \(g\) 中的系数，并且 \(\{j_1,\ldots,j_{n-k}\}\) 是 \(\{i_1,\ldots, i_k\}\) 在 \(\{1,2,\ldots, n\}\) 中的补集。

由于 \(f,g\) 都是对称多项式，所以 \(f_{i_1\cdots i_k}\) 对任何 \(\{i_1,\ldots,i_k\}\) 都相同，都等于 \(f_k\)，同理 \(g_{j_1\cdots j_{n-k}}\) 都等于 \(g_{n-k}\)，所以 \[(fg)_k=\sum_{k=0}^n\sum_{\{i_1,\ldots,i_k\}\subseteq\{1,2,\ldots,n\}} f_{i_1\cdots i_k}g_{j_1\cdots j_{n-k}}=\sum_{k=0}^nC_n^k f_kg_{n-k}.\] 这就证明了 \(\theta\) 确实是代数同态。

在齐次对称多项式 \(h_k\) 中，其形如 \(x_1x_2\cdots x_n\) 的项只有一个，就是 \(x_1x_2\cdots x_k\)，并且这一项的系数是 1，所以 \(\theta(h_k)=\frac{t^k}{k!}\)。

我们再来分析 \(\theta\) 作用在 Schur 多项式上的结果 \(\theta(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n))\)。注意 这里要求 \(n=|\lambda|\)，即将数字 \(\{1,2,\ldots,n\}\) 填入形状为 \(\lambda\vdash n\) 的 Ferrers 图得到的半标准 Young 表的生成函数。单项式 \(x_1x_2\cdots x_k\) 在 \(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 中的系数等于每个数字 \(\{1,2,\ldots,k\}\) 都恰好使用一次的不同填法的个数，这只能是 \(k=n\) 且得到的是标准 Young 表，这样的填法有 \(f_\lambda\) 种，所以 \[\theta(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n))=f_\lambda \frac{t^n}{n!}.\]

在 Jacobi-Trudi 恒等式两边同时用 \(\theta\) 作用，得到 \[f_\lambda \frac{t^n}{n!}=\det\left( \frac{t^{\lambda_i-i+j}}{(\lambda_i-i+j)!} \right).\] 取 \(t=1\) 代入得 \[f_\lambda = n!\cdot \det\left(\frac{1}{(\lambda_i-i+j)!}\right).\] 我们把这个行列式写出来： \[f_\lambda = n!\cdot \det\begin{pmatrix} \frac{1}{\lambda_1!} & \frac{1}{(\lambda_1+1)!} & \cdots & \frac{1}{(\lambda_1+r-1)!}\\ \frac{1}{(\lambda_2-1)!} & \frac{1}{\lambda_2!} & \cdots & \frac{1}{(\lambda_2+r-2)!}\\ \cdots & \cdots &\cdots&\cdots\\ \frac{1}{(\lambda_r-r+1)!} & \frac{1}{(\lambda_r-r+2)!} & \cdots & \frac{1}{\lambda_r!} \end{pmatrix}.\] 它的最后一列恰好是 \(\{\mu_i!,1\leq i\leq r\}\)，提出来以后得到 \[f_\lambda = \frac{n!}{\prod\limits_{i=1}^r\mu_i!}\cdot \det\begin{pmatrix} \mu_1^{\underline{r-1}}& \mu_1^{\underline{r-2}} & \cdots & \mu_1^{\underline{0}}\\ \mu_2^{\underline{r-1}} & \mu_2^{\underline{r-2}} & \cdots & \mu_2^{\underline{0}}\\ \cdots & \cdots &\cdots&\cdots\\ \mu_r^{\underline{r-1}}& \mu_r^{\underline{r-2}} & \cdots & \mu_r^{\underline{0}} \end{pmatrix}= \frac{n!}{\prod\limits_{i=1}^r\mu_i!}\cdot\det(\mu_i^{\underline{r-j}}).\] 其中采用了记号 ² \[x^{\underline{k}}=x(x-1)\cdots(x-k+1).\]

不难证明 \(\det(\mu_i^{\underline{r-j}})\) 这个行列式与 Vandermonde 行列式 \(\det(\mu_i^{r-j})\) 的值是一样的，都等于 \(\prod\limits_{i<j}(\mu_i-\mu_j)\)。实际上我们可以考虑 \(n\) 个变元 \(X_1,\ldots,X_n\) 的行列式 \(\det(X_i^{\underline{r-j}})\)，这个多项式在 \(X_i=X_j\) 时是 0，所以它有因子 \(\prod_{1\leq i<j\leq r}(X_i-X_j)\)。另一方面它的行列式展开以后每一项次数都不超过 \(\sum_{i=1}^r(r-i)=\frac{r(r-1)}{2}\)，所以比较次数即得它必然等于 \(\prod_{1\leq i<j\leq r}(X_i-X_j)\) 乘以一个常数。再比较 \(X_1^{r-1}X_2^{r-2}\cdots X_r^0\) 的系数（来自主对角线）即得这个常数是 1。

于是 \[f_\lambda = \frac{n!}{\prod\limits_{i=1}^r\mu_i!}\cdot\prod\limits_{i<j}(\mu_i-\mu_j) = \frac{n!}{\prod\limits_{v\in F_\lambda}h_v}.\] 这就完成了钩子长度公式的证明。

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