相亲问题与倒向归纳法

问题:假设你是一位大龄男士,准备参加 100 场相亲 (别介意具体数字)。你打算依次与每个女士 \(i\) 约会,然后根据印象给她打一个分数 \(X_i\)\(X_i\) 的值介于 \([0,1]\) 之间。如果你对女士 \(i\) 很满意,那么就和她结婚,否则就放弃她,参加下一场相亲,当然拒绝了人家可就没有回头的机会了。如果你拒绝了前 99 位女士,那么不论第 100 次相亲结果如何你都只能和最后这位女士结婚。在相亲之前,你对这些女士的情况一无所知,所以姑且假定她们的分数 \(X_i\) 都是 \([0,1]\) 上均匀分布的独立的随机变量。问题是:应该采取怎样的相亲策略,才能娶到你最中意的女士?

三质点弹簧系统的简正模式

今天的问题是群表示论在物理中的一个小应用:

问题:平面上有三个质量均为 \(m\) 的质点 \(A,B,C\),它们位于一个正三角形的三个顶点处。质点之间两两由一根弹簧相连,三个弹簧都是一样的,但是弹簧质量忽略不计。

初始时所有质点都处于静止状态,弹簧之间没有张力。假设给这三个质点分别施加一个初始速度,使这三个质点在平面内作刚体运动,不考虑任何摩擦力和空气阻力。那么这个系统的简正模式 (normal mode) 是什么?

这里简正模式的含义是所有质点按照一个共同的频率和固定的相位关系相对于各自的平衡位置作简谐振动。

模式的等待时间与反直觉概率

著名概率学家 Feller 在他的名著《An introduction to probability and its applications》中提到了这样一个实验:

重复抛掷一枚均匀的硬币,用 H 代表正面向上,T 代表背面向上,一直到连续出现 6 次 H 为止。这里连续 6 个 组成的模式记作 HHHHHH,所需要抛掷硬币的次数叫做等待时间。等待时间是一个随机变量,最小值是 6,最大值可以是无限。Feller 问:等待时间的均值是多少?

这个问题可以用 Markov 链来解,但是非常繁琐。香港中文大学李硕彦教授在他的论文

A Martingale Approach to the Study of Occurrence of Sequence Patterns in Repeated Experiments.

中用离散鞅的知识给出了一个简洁而巧妙的解法,本文就来介绍他的方法。

洛奇绵羊问题

我们的问题源自中世纪威尔士人的故事集《Mabinogion》中的一段:

一个男孩来到了一个美丽的山谷,有一条小河在谷中流淌。他看到河一边的草地上有一群黑绵羊,另一边的草地上有一群白绵羊。羊群被施以一种魔法:每个时刻都恰有一只绵羊发出咩咩的叫声。如果发出叫声的是白绵羊,就会有一只黑绵羊趟过小河跑过来并且变成白绵羊;如果发出叫声的是黑绵羊,则会有一只白绵羊趟过小河跑过去并且变成黑绵羊。每个时刻发出叫声的绵羊是完全随机的,整个过程没有绵羊出生或者死亡,一直持续到所有绵羊都变成同一种颜色为止。

问题是这样的:

问题:如果男孩可以选择在初始时刻 \(0\),或者是每个魔法时刻 \(1,2,\ldots\) 结束后将任意数量的白绵羊赶出山谷,那么为了最终得到尽可能多的黑绵羊,他应该采取怎样的策略?

飞船空间跳跃问题

本文的问题出自 Williams 的教材《Probability with Martingales》,虽然不算很难但是综合使用了许多知识,展示了抽象的鞅理论其实有着丰富多彩的应用。

问题:一艘太空船正在宇宙中做星际航行时,飞船的控制系统出了故障,飞船不能正常地进行空间跳跃,而是只能预先设定一个距离,然后以此距离进行一次方向完全随机的跳跃。现在的问题是飞船想要返回太阳系。假设太阳系的半径是 \(r\),发生故障时飞船与太阳的距离为 \(R\),这里 \(R>r\)。在每个时刻,飞船能够知道自身与太阳系的距离。

求证:不论采用怎样的跳跃策略,飞船返回太阳系的概率都小于 \(r/R\);但是对任何 \(\epsilon>0\),可以采取适当的策略,使得飞船返回太阳系的概率大于 \((r-\epsilon)/R\),即 \(r/R\) 是最优概率。这个最优策略是什么?

Schur 多项式,Littlewood-Richardson rule 与 Hook 长度公式

在数学中有那么一些问题,它们的表述简单而初等,但是解决起来却非常困难,往往需要相当的奇思妙想和深刻的工具,而且围绕这个问题许多不同领域的数学交织在一起,演绎出许多奇妙的故事来。

Young 表就是其中一个精彩的例子,组合数学,表示论,概率论在这里发生了奇妙的交汇。

我们先从一个有趣的问题开始:

问题\(n\) 位选民要在一次选举中给 \(m\) 个候选人投票,每个选民只能投一票。已知第 \(i\) 位候选人最终的得票数为 \(\lambda_i\),这里 \(\sum_{i=1}^m\lambda_i=n\)\(\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_m\)。问题是:有多少种不同的得票序列,使得在投票过程中的任一时刻,对任何的 \(i<j\),第 \(i\) 位候选人所得的票数总不少于第 \(j\) 位候选人所得的票数?

举个例子,假设有 \(n=10\) 位选民和 \(m=4\) 个候选人,则得票序列 \[1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 4, 3, 1\] 表示第一个选民投票给 1 号,第二个选民投票给 2 号,第三个候选人投票给 1 号,第四个候选人投票给 3 号,依次类推。问题的要求等价于对任何 \(1\leq k\leq n\)\(1\leq i<j\leq m\),序列的前 \(k\) 项中数字 \(i\) 出现的次数都大于等于数字 \(j\) 出现的次数。

虽然问题的表述很简单,但其实答案相当复杂,绝非一般的初等方法所能解决。对付它的最好方法是 Schur 多项式的理论,我接下来就来介绍它。

线性代数杂题若干

二次型的惯性指数问题

我在研究生期间给学弟学妹们当高等代数课助教时,除了改改作业,讲讲习题,还经常需要出一些有点巧妙但又不太复杂的题目,帮助他们理解所学的内容。某一次我出了这样一道题:

问题:我们知道如果 \(A\) 是一个对称矩阵,\(T\) 是一个可逆矩阵,则 \(B=T'AT\) 也是对称矩阵且 \(A,B\) 合同 (congruent),所以它们有相同的正负惯性指数。如果 \(T\) 是不可逆矩阵呢?这时 \(A\)\(B\) 的正负惯性指数有怎样的关系?

当时班上无人能立刻给出答案。

其实这个题目不过是我把他们作业中的一道题改了改说法而已:

Artinian 环与 Wedderburn-Artin 定理

本文目的是介绍 Wedderburn-Artin 的关于半单代数的结构定理。

讲述 Wedderburn-Artin 定理的教材已经是汗牛充栋,证明途径也大同小异,所以本文并不包含新鲜的内容。Wedderburn-Artin 定理在介绍群表示论或者非交换环的书里面基本都可以找到,但是我发现讲群表示论的书往往只针对有限维半单代数的情形介绍最基本的结论,显得不太够用;而讲非交换环的书则往往从 Jacobson 根,密度定理等讲起,包含了过多环论的内容,对初学者又不太友好。这篇文章希望能补上这个空白,用尽可能简洁的篇幅,尽量采用容易理解和记忆的表述,介绍清楚 Wedderburn-Artin 定理证明的来龙去脉。这里采用的是当年 Wedderburn 的思路,即通过极大幂零理想来定义半单性。与通过完全可约性或者 Jacobson 根来定义半单性相比它显得不够现代,但是我想这种沿着前人思路走的叙述方式应该更容易被接受。

不可能的铺砌

依次将 \(1,2,\ldots,n\) 个全等的正六边形摞在一起,得到的图案记作 \(T_n\),下图是 \(n=7\) 的例子:

我们把连在一起的、对称中心在一条直线上的三个正六边形组成的图案叫做一块“骨头”,根据摆放的角度有三种不同的骨头:

我们的问题是:

问题:求证对任何 \(n\)\(T_n\) 都不可能用若干块骨头不重叠不遗漏地恰好铺砌。

这个题目出自 Conway 的论文 "Tiling with polyominoes and combinatorial group theory",在 Thurston 的文章 "Groups, tilings and finite state automata" 中也有讨论。这个题目的难点在于用传统的染色方法是得不出矛盾的,Conway 等人采用的是一个组合群论的途径,即用适当的群元素给铺砌作标记来获得某种铺砌的不变量,并说明区域 \(T_n\) 不满足这个不变量,从而导出矛盾。本文就来介绍这一方法。

关于中心单代数的三个基本结论

本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告,目的是介绍中心单代数的三个最基本的结论:中心单代数对张量积运算是封闭的,Noether-Skolem 定理,双重中心化子定理。写这篇文章时参考了不少代数学的教材,经过提炼整理得到了本文,希望我的表述做到了清楚易懂。

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