本文是我念 Humphreys 的教材 《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》 时的读书笔记，目的是介绍该书的核心定理 24.3，即有限维复半单李代数的 Weyl 特征公式。Humphreys 书中对 Weyl 特征公式的证明来自 Bernstein, Gelfand 和 Gelfand 1971 年的论证。1974 年 Victor Kac 给出了 BGG 证明的一个简化版本，这个证明也收录在 Kac 所著的 《Infinite-dimensional Lie algebras》一书第 10 章中。但 Humphreys 的书的第一版在 1972 年出版，当时 Kac 的证明还未出现。在第二版中 Humphreys 将 Kac 的证明作为附录加入 24 节中。Humphreys 遵循的 BGG 证明依赖于 Harish-Chandra 关于泛包络代数的中心 \(Z = Z(U(\mathfrak{g}))\) 的一个结果。Kac 的论证避开了 Harish-Chandra 的定理，而是巧妙地仅使用 \(Z\) 的一个元素，即 Casimir 元素。现在的教材大多采用 Kac 的论证，本文也是如此。

但是 Humphreys 也解释了 BGG 证明的优点，比如 Proposition 24.2 中证明一般 Verma 模具有有限合成列几乎无法避免使用 Harish-Chandra 定理。

背景回顾与符号约定

令 \(\mathfrak{g}\) 表示一个有限维复半单李代数，\(U(\mathfrak{g})\) 是 \(\mathfrak{g}\) 的泛包络代数，\(\mathfrak{h}\) 是 \(\mathfrak{g}\) 的 Cartan 子代数。\(\Delta\) 是一组单根系，\(\Phi\) 是根系，则 \(\Phi=\Phi^+\cup\Phi^-\) 是正根和负根的并。

\(\mathfrak{g}\) 有根空间分解 \[\mathfrak{g}=\bigoplus_{\alpha\in\Phi^+}(\mathfrak{g}_\alpha\oplus\mathfrak{g}_{-\alpha})\oplus\mathfrak{h}.\] 其中每个根空间 \(\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_{-\alpha}\) 都是一维的且 \([\mathfrak{g}_{\alpha}, \mathfrak{g}_{-\alpha}]\subset\mathfrak{h}\)。当 \(\alpha+\beta\ne0\) 时 \([\mathfrak{g}_{\alpha}, \mathfrak{g}_{\beta}]=0\)。

Killing 型 \(\kappa(x,y)\) 限制在 \(\mathfrak{h}\) 上是非退化的，于是我们可以把 \(\mathfrak{h}\) 和它的对偶空间 \(\mathfrak{h}^\ast\) 等同起来：对任何 \(\lambda\in\mathfrak{h}^\ast\)，都存在 \(t_\lambda\in\mathfrak{h}\) 使得对任何 \(h\in\mathfrak{h}\) 有 \(\lambda(h) = \kappa(t_\lambda, h)\)。

我们可以把 Killing 型迁移到 \(\mathfrak{h}^\ast\) 上，定义 \(\mathfrak{h}^\ast\) 上的对称双线性型 \((\cdot,\cdot)\) 为 \[(\lambda,\mu) = \kappa(t_\lambda,t_\mu),\quad \lambda,\,\mu\in\mathfrak{h}^\ast.\]

将 \(\mathfrak{h}^\ast\) 看作实数域 \(\mathbb{R}\) 上的向量空间，记作 \(\mathfrak{h}^\ast_{\mathbb{R}}\)，则 \((\cdot,\cdot)\) 成为 \(\mathfrak{h}^\ast_{\mathbb{R}}\) 上的一个 Euclidean 内积。

Humphreys proposition 8.3：设 \(\alpha\in\Phi^+\) 是正根，\(e_\alpha\in\mathfrak{g}_\alpha\)，\(f_\alpha\in\mathfrak{g}_{-\alpha}\)，则：

1. \([e_\alpha,f_\alpha] = \kappa(e_\alpha, f_\alpha)t_\alpha\)。其中 \(t_\alpha\in\mathfrak{h}\) 是与 \(\alpha\) 等同的元素。
2. 特别若 \(e_\alpha,f_\alpha\) 满足 \(\kappa(e_\alpha,f_\alpha)=\frac{2}{\kappa(t_\alpha,t_\alpha)}\)，则 \([e_\alpha,f_\alpha]=\frac{2t_\alpha}{\kappa(t_\alpha,t_\alpha)}=h_\alpha\)。\(h_\alpha\) 叫做 \(\alpha\) 的余根 (coroot)。
3. 三元组 \(\{e_\alpha,f_\alpha,h_\alpha \}\) 生成一个 \(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\) 子代数。

在初学的时候我经常分不清 \(t_\alpha\) 和 \(h_\alpha\)，每次看到它俩都要想一会儿它们的含义。其实它俩是用在不同的场景中：

1. \(t_\alpha\) 的使用场景是，当线性泛函 \(\alpha\in\mathfrak{h}^\ast\) 作用在 \(h\in\mathfrak{h}\) 上时，我们可以把 \(\alpha(h)\) 等价地写成 \((t_\alpha, h)\)。

2. \(h_\alpha\) 的使用场景是，在计算关于 \(\alpha\) 的反射 \[s_\alpha(\lambda) = \lambda - 2\frac{(\lambda,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha\] 时，我们可以把它简写为 \[s_\alpha(\lambda) = \lambda - (\lambda,\alpha^\vee)\alpha.\] 其中 \(\alpha^\vee=\frac{2}{(\alpha,\alpha)}\) 是 \(\alpha\) 的余根。不过等等！我们刚才不是把 \(h_\alpha\) 定义为 \(\alpha\) 的余根了吗？

   这是因为 \[2\frac{(\lambda,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}=2\frac{\kappa(t_\lambda,t_\alpha)}{\kappa(t_\alpha,t_\alpha)}=\kappa(t_\lambda, h_\alpha)=\lambda(h_\alpha).\] 即 \((\lambda,\alpha^\vee)=\lambda(h_\alpha)\)。所以虽然 \(h_\alpha\) 和 \(\alpha^\vee\) 一个在 \(\mathfrak{h}\) 中，一个在 \(\mathfrak{h}^\ast\) 中，但它俩在 Killing 型的对应下是同一个元素。

每个单根 \(\alpha\) 给出一个 \(\mathfrak{h}^\ast\) 上的线性变换 \(s_\alpha(\beta) = \beta - \beta(\alpha^\vee)\alpha\)，\(s_\alpha\) 是一个单反射，所有单反射 \(\{s_\alpha,\alpha\in\Delta\}\) 生成的群 \(W\) 叫做 Weyl 群。

设 \[\rho=\frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha\in\Phi_+}\alpha\] 是所有正根之和的一半，则对任何单反射 \(s_\alpha\) 有 \[\rho-(\rho, \alpha^\vee)\alpha=s_\alpha(\rho)=\rho-\alpha.\] 其中第一个等号来自反射的定义，第二个等号是因为 \(s_\alpha\) 置换除 \(\alpha\) 之外的所有正根，并把 \(\alpha\) 映射为 \(-\alpha\)。所以对任何 \(\alpha\in\Delta\) 有 \((\rho,\alpha^\vee)=1\)。

设 \(\lambda\in\mathfrak{h}^\ast\)，如果对任何 \(\alpha\in\Phi^+\) 有 \(\lambda(\alpha^\vee)\in\mathbb{Z}\)，我们就称 \(\lambda\) 是一个整权。对整权 \(\lambda\)，如果总是有 \(\lambda(\alpha^\vee)\geq0\)，就称 \(\lambda\) 是一个支配整权。进一步如果总是有 \(\lambda(\alpha^\vee)>0\)，就称 \(\lambda\) 是强支配整权。

记 \(P\) 为所有整权组成的格点，\(P^+\) 为所有支配整权组成的集合。

\(\mathfrak{h}^\ast\) 上的偏序 \(\preceq\) 定义如下： \[\mu\preceq\lambda\Leftrightarrow\lambda-\mu=\sum_{\alpha\in\Phi^+}k_\alpha\alpha,\quad k_\alpha\in\mathbb{Z}_{\geq0}.\] 我们知道 \(\mathfrak{h}^\ast_{\mathbb{R}}\) 在内积 \((\cdot,\cdot)\) 下成为一个 Euclidean 空间。记 \[\mathcal{D}= \{x\in\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^\ast\mid (x, \alpha^\vee)\geq0\text{ for all }\alpha\in\Phi^+\}.\] \(\mathcal{D}\) 叫做基本胞腔 (fundamental chamber)。基本胞腔的含义是，对任何 \(x\in\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^\ast\)，\(x\) 在 Weyl 群作用下的轨道 \(\{wx\mid w\in W\}\) 与 \(\mathcal{D}\) 有唯一的交点。

如果 \(\lambda\) 是一个支配整权，则 \(\lambda\in\mathcal{D}\)。这时对任何 \(w\in W\) 有 \(w\lambda\preceq\lambda\)，等号成立当且仅当 \(w=1\)。

权模

定义 1：设 \(V\) 是一个 \(\mathfrak{g}-\) 模，我们称 \(V\) 是一个权模 (weight module)，如果 \(V\) 可以分解为关于 \(\mathfrak{h}\) 的权空间的直和： \[V = \bigoplus_{\lambda\in\mathfrak{b}^\ast} V_\lambda.\] 并且每个权空间的维数 \(\dim V_\lambda<\infty\)。

我们把权空间 \(V_\lambda\) 中的向量叫做权向量。

关于权模有这么几个常识是时时都要用到的：

1. 不同权对应的权空间之和必然是直和。（类比：线性变换的不同特征值对应的特征子空间是直和）
2. 如果 \(V\) 可以由一些权向量的线性组合生成，则 \(V\) 是一个权模。（类比：若线性变换的特征向量可以张成整个空间，则该线性变换是可对角化的）
3. 权模的子模和商模也都是权模。（类比：可对角化的线性变换在子空间和商空间上也都是可对角化的）
4. \(\mathfrak{g}\) 的根空间 \(g_\alpha\) 把 \(V_\lambda\) 映射到 \(V_{\lambda+\alpha}\)，即 \(g_\alpha V_\lambda\subseteq V_{\lambda+\alpha}\)。

这几点的证明都不难，这里只解释第三点。

命题 1：如果 \(N\subset V\) 是一个子模，则 \(N\) 也是权模，并且有分解 \[N = \bigoplus_{\lambda\in\mathfrak{b}^\ast} (N\cap V_\lambda).\]

证明：设 \(x\in N\)，则 \(x\) 可以写成 \[x=v_1 + v_2 + \cdots + v_k,\quad v_i\in V_{\lambda_i}.\] 我们要证明的是必然有每个 \(v_i\in N\)。若不然，设 \(x\) 是使得 \(k\) 最小的反例，则必有 \(k>1\)，否则 \(v_1=x\in N\) 自动成立了。

注意到我们可以取 \(h\in\mathfrak{h}\) 使得对任何 \(1\leq i\ne j\leq k\) 都有 \(\lambda_i(h)\ne\lambda_j(h)\) 成立，这是因为方程 \(\lambda_i=\lambda_j\) 给出的是 \(\mathfrak{h}\) 中的一个超平面，而有限多个这样的超平面的并不可能等于 \(\mathfrak{h}\)，故这样的 \(h\) 存在。然后注意到 \[y=hx-\lambda_1(h)x=\sum_{i=2}^k(\lambda_i(h)-\lambda_1(h))v_i\] 是 \(N\) 中一个长度小于 \(x\) 的元素，且每个 \(v_i\,(i\geq2)\) 的系数均不为 0，因此它们都属于 \(N\)，从而 \(v_1\) 也属于 \(N\)，命题得证。\(\blacksquare\)

更进一步，设 \(V\xrightarrow{\varphi}V/N\) 是自然同态，不难验证每个 \(\varphi(V_\lambda)\) 都是 \(V/N\) 中权为 \(\lambda\) 的权空间，且显然 \(V/N\) 可以由所有的 \(\varphi(V_\lambda)\) 张成，所以商模 \(V/N = \bigoplus\limits_{\lambda\in\mathfrak{h}^\ast}\varphi(V_\lambda)\) 也是权模。

在后面的讨论中，我们经常会遇到 \(N\) 是某个 \(v\in V_\lambda\) 生成的循环模的情形，这时使用维数公式有 \[\dim V_\lambda = \dim N\cap V_\lambda + \dim\varphi(V_\lambda).\] 所以 \(\varphi(V_\lambda)\) 的维数严格小于 \(V_\lambda\)。

最高权循环模

最高权循环模是权模，而且是可以由一个最高权向量生成的循环模。它包含了所有的有限维不可约模。

定义 2：设 \(V\) 是一个 \(\mathfrak{g}-\) 模，\(v\in V\) 是一个权为 \(\lambda\in\mathfrak{h}^\ast\) 的权向量，如果 \(v\) 满足对任何 \(x\in\mathfrak{n}^+\) 有 \(xv=0\) 成立（这等价于对所有 \(e_\alpha\in\mathfrak{g}_\alpha\,(\alpha\in\Phi^+)\) 有 \(e_\alpha v=0\)），就称循环模 \(U(\mathfrak{g})v\) 为最高权循环模，\(v\) 叫做 \(U(\mathfrak{g})v\) 的最高权向量。

我们来分析 \(U(\mathfrak{g})v\) 的结构。

根据 Poincaré–Birkhoff–Witt 定理，\(U(\mathfrak{g})\cong U(\mathfrak{n}^-)\otimes U(\mathfrak{h})\otimes U(\mathfrak{n}^+)\)，所以 \[U(\mathfrak{g})v= U(\mathfrak{n}^-)U(\mathfrak{h})U(\mathfrak{n}^+)v.\] 但是任何 \(x\in U(\mathfrak{n}^+)\) 作用在 \(v\) 上要么“杀死” \(v\)，即 \(xv=0\)；要么把 \(v\) 变成 \(v\) 的倍数，所以 \(U(\mathfrak{n}^+)v=\mathbb{C}v\)。而显然 \(U(\mathfrak{h})v=\mathbb{C}v\)，所以 \[U(\mathfrak{g})v= U(\mathfrak{n}^-)v.\]

\(\{f_{\alpha},\alpha\in\Phi^+\}\) 构成 \(\mathfrak{n}^-\) 的一组基，其中 \(f_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{-\alpha}\)，于是 \(U(\mathfrak{n}^-)\) 的一组 PBW 基形如 \(\{\prod_{\alpha\in\Phi^+}f_{\alpha}^{k_\alpha},k_\alpha\in\mathbb{Z}_{\geq0}\}\)。所以 \[U(\mathfrak{g})v = {\rm span}\,\left\{\left(\prod_{\alpha\in\Phi^+}f_{\alpha}^{k_\alpha}\right)\, v,\ k_\alpha\in\mathbb{Z}_{\geq0}\right\}.\] \(f_{\alpha}\) 将权子空间 \(V_\mu\) 映射到 \(V_{\mu-\alpha}\)，所以 \[\left(\prod_{\alpha\in\Phi^+}f_{\alpha}^{k_\alpha}\right) \, v \in V_\mu,\quad \mu=\lambda - \sum_{\alpha\in\Phi^+}k_\alpha\alpha.\]

容易看到 \(V_\mu\) 的维数是有限的，这是因为 \((\prod_{\alpha\in\Phi^+}f_{\alpha}^{k_\alpha})\, v \in V_\mu\) 当且仅当 \(\{k_\alpha\}\) 满足 \(\lambda-\sum_{\alpha\in\Phi^+}k_\alpha\alpha=\mu\)，这样的非负整数序列 \(\{k_\alpha\}\) 只有有限多个，所以 \(\dim V_\mu\) 不会超过这样的序列的个数。特别地 \(\mu=\lambda\) 当且仅当所有的 \(k_\alpha\) 都是 0，因此 \(\dim V_\lambda=1\)，即 \(V_\lambda\) 是 \(v\) 生成的一维子空间。

设 \(\lambda\in\mathfrak{h}^\ast\)，有趣的是，在所有以 \(\lambda\) 为最高权的最高权循环模中，既有一个最小的，也有一个最大的：

1. 这个最小的模（记作 \(L_\lambda\)） 是一个不可约模，它是所有最高权循环模的商模 （所有最高权模之子）。在同构的意义下，这个不可约模是唯一的。

2. 最大的模 （记作 \(M_\lambda\)） 自然可以称为“所有最高权模之母”：其它所有最高权模都是它的商模。\(M_\lambda\) 就是我们后面要介绍的 Verma 模，它在同构的意义下也是唯一的。

不可约模 \(L_\lambda\) 的唯一性比较好证明，这是因为在一个最高权循环模 \(V=U(\mathfrak{g})v\) 中，任何真子模都不可能含有最高权向量 \(v\)，由于不同权的权向量的线性无关性，真子模的和也组合不出 \(v\) 来，因此所有真子模的和仍然是真子模，这是一个唯一的极大真子模，所以 \(V\) 有唯一的不可约商模 \(L_\lambda\)。我们还需要说明对两个不同的以 \(\lambda\) 为最高权的循环模 \(V_1,V_2\) 有 \(L_{\lambda}^1\cong L_{\lambda}^2\)。为此可以构造直和 \(W=V_1\oplus V_2\)，\(W\) 也是一个以 \(\lambda\) 为最高权的循环模，其最高权向量为 \((v_1,v_2)\)，且 \(V_1,V_2\) 作为直和分量都是它的商模，所以我们有如下同态： \[\begin{align*} W &\xrightarrow{\pi_1} V_1\xrightarrow{\pi} L_{\lambda}^1,\\ W &\xrightarrow{\pi_2} V_2\xrightarrow{\pi} L_{\lambda}^2. \end{align*}\] 其中 \(\pi_i\) 是 \(W\) 到 \(V_i\) 的投影，\(\pi\) 是对极大真子模取商模。

现在 \(L_\lambda^1,L_{\lambda}^2\) 都是 \(W\) 的不可约同态像，而 \(W\) 作为最高权循环模有唯一的不可约商模，所以 \(L_\lambda^1\cong L_{\lambda}^2\)。

另一种更直接的证明 \(L_\lambda\) 唯一性的方式是使用 Verma 模 （它们都是 Verma 的唯一不可约商模！)，关于 Verma 模我们放在下一节单独介绍。

Verma 模

定义 3：设 \(\lambda\in\mathfrak{h}^\ast\)，我们称一个最高权循环模 \(M_\lambda\) 为 Verma 模，如果任何最高权为 \(\lambda\) 的循环模都是它的商模。

我个人比较喜欢这个定义，第一它点明了 Verma 的本质是它的泛性质，第二它只有一句话。

不过从这个定义看不出来 Verma 是否存在，存在的话又是否唯一，下面来处理这两个问题。

首先我们的定义蕴含了 Verma 模的唯一性。设 \(M_\lambda,N_\lambda\) 是任何两个最高权为 \(\lambda\) 的 Verma 模，则它们互为彼此的商模。不妨设 \(M_\lambda / W\cong N_\lambda\)，这里 \(W\) 是 \(M_\lambda\) 的子模，于是对任何权 \(\mu\)，\[ \dim [M_\lambda]_\mu \geq\dim [N_\lambda]_\mu.\]然而 \(N_\lambda\) 也是 \(M_\lambda\) 的商模，所以反向不等式也成立，从而上式其实是个等式，因此 \(M_\lambda\) 和 \(N_\lambda\) 是同构的。

存在性的证明看似稍微麻烦一点点，但其实也是数学里面的惯用招数：注意我们对 Verma 模是通过其泛性质来定义的，而在数学中要在一类对象 \(\mathcal{X}\) 中构造具有给定泛性质的特殊成员时，我们总是从一个最一般的对象 \(A\in\mathcal{X}\) 出发，然后在 \(A\) 中对泛性质所规定的约束条件取商，注意既不能多一分 （超出泛性质规定的约束），也不能少一分 （少于泛性质规定的约束），这样得到的对象就满足所需的泛性质。

在这里 \(\mathcal{X}\) 由所有的 \(U(\mathfrak{g})-\) 循环模构成，这其中最一般的自然是 \(U(\mathfrak{g})\) 作为自身的左正则模，它可以由单位元 \(1\) 生成，其它任何循环模都是它的商模。

要把左正则 \(U(\mathfrak{g})-\) 模变成一个具有泛性质的最高权循环模，我们看看必须添加哪些必要的约束条件。由于我们要把单位元 1 变成最高权向量，“最高”要求对任何 \(\alpha\in\Phi^+\) 和 \(e_\alpha\in\mathfrak{g}_\alpha\) 有 \(e_\alpha\cdot1=0\)，即 \(e_\alpha=0\)。“权向量”要求对任何 \(h\in\mathfrak{h}\) 有 \(h\cdot1 = \lambda(h)\cdot1\)。这些就够了！所以我们取 \(I\) 是由所有 \(\{e_\alpha,\alpha\in\Phi^+\}\) 和 \(\{h-\lambda(h)1,h\in\mathfrak{h}\}\) 生成的左理想，则 \(U(\mathfrak{g})/I\) 就是所要构造的 Verma 模。

注意 \(U(\mathfrak{g})/I\) 作为左 \(U(\mathfrak{g})-\) 模自然也是左 \(U(\mathfrak{n}^-)-\) 模，这个模同构于 \(U(\mathfrak{n}^-)\) 的左正则表示，同构映射由 \[U(\mathfrak{n}^-)\to U(\mathfrak{g})/I:\quad 1\to 1+I\] 给出，这是很容易用 PBW 定理验证的。记 \(v=1\)，则所有的 \(\{(\prod_{\alpha\in\Phi^+}f_{\alpha}^{k_\alpha})\, v\}\) 均非零且线性无关。换句话说，Verma 模是使得 \(U(\mathfrak{n}^-)\) 的作用“最自由”的最高权循环模。

Verma 模也可以通过诱导表示来构造，这里不再赘述。

Casimir 算子

Casimir 算子并不是 \(\mathfrak{g}\) 中的元素，它其实是泛包络代数 \(U(\mathfrak{g})\) 中的元素，而且属于 \(U(\mathfrak{g})\) 的中心，它与 \(\mathfrak{g}\) 的任何表示可交换，从而 Casimir 元素的特征子空间分解给出表示的分解。

任取 \(\mathfrak{g}\) 的一组基 \(\{x_i\}\)，设它们在 Killing 型下的对偶基为 \(\{y_i\}\)，即 \(\kappa(x_i,y_j)=\delta_{ij}\)。

定义 4：Casimir 算子定义为 \(\Omega = \sum_{i=1}^n x_iy_i\)，其中 \(n=\dim\mathfrak{g}\)。

不难证明 Carimir 算子的定义与基 \(\{x_i\}\) 的选择无关。但是为了计算方便，我们会选取 \(\mathfrak{g}\) 的一组特殊的基如下：对每个正根 \(\alpha\)，取 \(e_\alpha\in\mathfrak{g}_\alpha,f_\alpha\in\mathfrak{g}_{-\alpha}\) 使得 \(\kappa(e_\alpha,f_\alpha)=1\)，则 \([e_\alpha,f_\alpha]=t_\alpha\)，这里 \(t_\alpha\) 是在 Killing 型下与 \(\alpha\) 对等的元素。设单根系 \(\Delta=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}\)，则 \(t_{\alpha_1},\ldots,t_{\alpha_n}\) 构成 \(\mathfrak{h}\) 的一组基，取 \(t_{\alpha_1}^\ast,\ldots,t_{\alpha_n}^\ast\in\mathfrak{h}\) 使得 \(\kappa(t_{\alpha_i},t_{\alpha_j}^\ast)=\delta_{ij}\)。

现在我们有了 \(\mathfrak{g}\) 的一组基 \(\{e_\alpha\},\{f_\alpha\}, \{t_{\alpha_i}\}\)，它们在 Killing 型下的对偶基为 \(\{f_\alpha\}\), \(\{e_\alpha\}\), \(\{t_{\alpha_i}^\ast\}\)，把它们两两配对相乘然后相加，得到的就是 Casimir 算子： \[\Omega=\sum_{\alpha\in\Phi_+}(f_\alpha e_\alpha+e_\alpha f_\alpha)+\sum_{i=1}^nt_{\alpha_i}t_{\alpha_i}^\ast.\] 进一步利用 \(e_\alpha f_\alpha=t_\alpha+f_\alpha e_\alpha\)，我们可以把 \(\Omega\) 写成 \[\Omega=2\sum_{\alpha\in\Phi_+}f_\alpha e_\alpha+\sum_{\alpha\in\Phi_+}t_\alpha+\sum_{i=1}^nt_{\alpha_i}t_{\alpha_i}^\ast.\]

设 \(\lambda\in\mathfrak{h}^\ast\)，\(V\) 是任一最高权为 \(\lambda\) 的循环模，最高权向量为 \(v\)，由于 Casimir 元素与 \(\mathfrak{g}\) 交换，所以 \(\Omega\cdot v\) 仍然是一个权为 \(\lambda\) 的权向量，从而是 \(v\) 的一个倍数，即 \[\Omega\cdot v_\lambda=c_\lambda v_\lambda.\] 我们来计算这个 \(c_\lambda\)。

利用 \(e_\alpha\cdot v_\lambda=0\) 以及 \(\lambda(t_\alpha)=(\lambda,\alpha)\) 可得 \[\begin{align}c_\lambda &= \sum_{\alpha\in\Phi_+}(\alpha,\lambda)+\sum_{i=1}^n\lambda(t_{\alpha_i})\lambda(t_{\alpha_i}^\ast)\\ &= \sum_{\alpha\in\Phi_+}(\alpha,\lambda)+\sum_{i=1}^n(\lambda,\alpha_i)(\lambda,\alpha_{i}^\ast)\\ &= 2(\lambda,\rho)+(\lambda,\lambda)\\ &= |\lambda+\rho|^2-|\rho|^2. \end{align}\]

其中倒数第二个等号是利用了一个简单的线性代数结论：

引理 1：设 \(\{x_i\}\) 是内积空间 \((\cdot)\) 的一组基，\(\{y_j\}\) 是 \(\{x_i\}\) 在这个内积下的对偶基， 则对任何向量 \(x\) 有\[(x,x)=\sum_{i=1}^n(x,x_i)(x,y_i).\]

这个计算对任何最高权循环模都适用，这样我们就得到一个重要的结论：

推论：Casimir 算子作用在最高权为 \(\lambda\) 的循环模上是一个数乘 \(|\lambda+\rho|^2-|\rho|^2\)。

范畴 \(\mathcal{O}\) 与合成列

这一小节我们来证明 Verma 具有有限长度的合成列，从而同时是 Artinian 和 Noetherian 的。于是任何最高权循环模都有有限的合成列。不过我们最好把分析扩展到更广泛的一类模上，即由 Bernstein, Gelfand 和 Gelfand 三人引入的范畴 \(\mathcal{O}\)：

定义 5：我们称一个 \(\mathfrak{g}-\) 模 \(V\) 属于范畴 \(\mathcal{O}\)，如果它是一个权模，并且存在有限多个权 \(\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}\) 使得 \(V_\mu\ne0\) 当且仅当对某个 \(\lambda_i\) 有 \(\mu\preceq\lambda_i\)。

显然范畴 \(\mathcal{O}\) 包含了所有的最高权模，并且若 \(\mathfrak{g}\) 属于范畴 \(\mathcal{O}\)，则 \(\mathfrak{g}\) 的任何子模和商模也都属于范畴 \(\mathcal{O}\)。范畴 \(\mathcal{O}\) 对有限直和运算也是封闭的。

定义 6：设 \(\mathfrak{g}-\) 模 \(V\) 属于范畴 \(\mathcal{O}\)，\(v\in V\) 是一个非零向量。如果存在 \(V\) 的子模 \(U\) 使得 \(v\) 是商模 \(V/U\) 中的最高权向量，我们就称 \(v\) 是一个本原向量。如果 \(V_\mu\) 包含一个本原向量，我们也称 \(\mu\) 是一个本原权。

引理 2：设 \(\mathfrak{g}-\) 模 \(V\) 属于范畴 \(\mathcal{O}\)，则 \(V\) 可以由本原向量生成。

证明：设 \(U\) 是 \(V\) 中所有本原向量生成的 \(\mathfrak{g}-\) 子模，我们断言 \(U=V\)。若不然，考虑商模 \(V/U\)，它在范畴 \(\mathcal{O}\) 中，所以存在权向量 \(u\) 使得 \(u\) 对应的权是偏序 \(\preceq\) 下的极大元。但是 \(u\) 在 \(V\) 中的原像必然是个本原向量，从而 \(u=0\)，矛盾。\(\blacksquare\)

命题 2：设 \(\mathfrak{g}-\) 模 \(V\) 属于范畴 \(\mathcal{O}\)，且 \(V\) 只有有限多个本原权，则 \(V\) 的合成列长度有限，即存在 \(V\) 的子模序列 \[(0)\subset V_1\subset\cdots\subset V_k=V.\] 使得每个合成因子 \(V_i/V_{i-1}\) 都是不可约最高权模。

证明：由于 \(V\) 只有有限多个本原权，且权子空间的维数有限，所以 \(V\) 只有有限多个线性无关的本原向量。我们对 \(V\) 包含的线性无关的本原向量的个数 \(n\) 归纳：

基础情形是 \(n=1\)，这时 \(V\) 本身必然是一个最高权循环模，而且一定是不可约的（否则它的真子模里面必然有本原向量），结论自动成立。

\(n>1\) 时，任取一个本原权 \(\mu\) 使得 \(\mu\) 是偏序 \(\preceq\) 下的极大元，并取本原向量 \(v\in V_\mu\)。显然 \(W=U(\mathfrak{g})v\) 是一个最高权循环模，从而它有一个极大真子模 \(W_1\)，\(W/W_1\cong L_\mu\) 是不可约模。

显然 \(V/W\) 和 \(W_1\) 包含的线性无关的本原向量个数都小于 \(n\) （因为 \(v\) 不在它俩里面），从而由归纳假设 \(V/W\) 和 \(W_1\) 都有有限长度的合成列，由于我们有子模序列 \[(0)\subset W_1\subset W\subset V.\] 把 \(W_1\) 和 \(V/W\) 的合成列塞到上面的式子中就得到了 \(V\) 的合成列。\(\blacksquare\)

推论：设 \(\lambda\in\mathfrak{h}^\ast_{\mathbb{R}}\)，即 \(\lambda\) 是单根的实线性组合，则 Verma 模 \(M_\lambda\) 有有限长度的合成列。

证明：只要说明 \(M_\lambda\) 只包含有限多个线性无关的本原向量即可。由于任何权为 \(\mu\) 的本原向量 \(u\) 都生成一个最高权循环模 \(V_\mu\)，而 Casimir 算子在 \(V_\mu\) 上的作用是数乘 \(|\mu+\rho|^2-|\rho|^2\)，这个值必须与 Casimir 算子在 \(M_\lambda\) 上的数乘 \(|\lambda+\rho|^2-|\rho|^2\) 相等，所以 \(\mu\) 必须满足 \(\mu\preceq\lambda\) 且 \(|\mu+\rho|^2=|\lambda+\rho|^2\)。这样的 \(\mu\) 构成的集合 \[S^\lambda = \{\mu\mid \mu\preceq\lambda,\, |\mu+\rho|^2=|\lambda+\rho|^2\}\] 是一个有限集，而权空间 \(V_\mu\) 的维数又是有限的，于是线性无关的本原向量的个数也是有限的。\(\blacksquare\)

这个推论对所有 \(\lambda\in\mathfrak{h}^\ast\) 都是对的，但是一般情形的证明要更加复杂。上面的证明利用了 \((\cdot,\cdot)\) 在 \(\mathfrak{h}^\ast_{\mathbb{R}}\) 上是正定的，这保证了 \(S^\lambda\) 是紧集。

Verma 模的特征

设 \(V=\oplus_{\lambda\in\mathfrak{h}^\ast}V_\lambda\) 是权模，定义形式幂级数 \[\mathop{\mathrm{ch}}{V} = \sum_{\lambda}(\dim V_\lambda)\, e^\lambda.\] \(\mathop{\mathrm{ch}}{V}\) 是一个形式幂级数，叫做 \(V\) 的特征。\(e^\lambda\) 是一个形式指数，满足运算 \(e^\lambda\cdot e^\mu=e^{\lambda+\mu}\)，其在 Weyl 权 \(W\) 下的作用规定为 \(w\cdot e^\lambda=e^{w(\lambda)}\)。

特征通常是一个无穷项的线性组合，是一个形式级数，不存在收敛到某个值的说法。但在 \(V\) 是有限维表示时，\(\mathop{\mathrm{ch}}{V}\) 其实是一个 Laurent 多项式，我们来解释下为什么：

取 \(\omega_1,\ldots,\omega_n\in P^+\) 为一组基本整权，即 \(P\) 的一组整基。定义变元 \(x_i=e^{\omega_i}\)，则对 \(V\) 的任何权空间 \(V_\lambda\)，由于有限维表示的权都是整权，故 \(\lambda\) 可以表示为 \(\omega_1,\ldots,\omega_n\) 的整系数线性组合 \[\lambda=a_1\omega_1+\cdots+a_n\omega_n,\quad a_i\in\mathbb{Z}.\] 则 \[\mathop{\mathrm{ch}}{V} = \sum_{\lambda}(\dim V_\lambda)\, x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}\in\mathbb{Z}[x_1^{\pm1},\ldots,x_n^{\pm1}]\] 是一个关于变元 \(x_1,\ldots,x_n\) 的有理多项式。实际上它关于 \(W\) 还是对称的。

我们来计算 Verma 模的特征。考虑如下的乘积： \[e^{\lambda}\cdot\prod_{\alpha\in\Phi^+}(1+e^{-\alpha}+e^{-2\alpha}+\cdots).\] 这个乘积展开的时候，是在每个正根 \(\alpha\) 的括号中分别取形如 \(e^{-k_\alpha \alpha}\,(k_\alpha\in\mathbb{Z}_{\geq0})\) 的一项，全部乘起来再和 \(e^{\lambda}\) 一起相乘得到形如 \(e^{\mu}=e^{\lambda-\sum_{\alpha\in\Phi^+}k_\alpha\alpha}\) 的项，然后将这些乘积相加。\(e^{\mu}\) 前面的系数正是使得 \(\mu=\lambda-\sum_{\alpha\in\Phi^+}k_\alpha\alpha\) 成立的整数序列 \(\{k_\alpha\}\) 的个数，即 Verma 模 \(M_\lambda\) 中权为 \(\mu\) 的权子空间的维数，所以上面的乘积就是 \(M_\lambda\) 的特征，即 \[\mathop{\mathrm{ch}}{M_\lambda} = e^\lambda \prod_{\alpha\in\Phi_+}(1+e^{-\alpha}+e^{-2\alpha}+\cdots).\] 这个式子可以进一步简化为 \[\mathop{\mathrm{ch}}{M_\lambda} = e^\lambda \prod_{\alpha\in\Phi_+}(1-e^{-\alpha})^{-1}.\] 记 \[q=e^\rho\prod_{\alpha\in\Phi_+}(1-e^{-\alpha}),\] \(q\) 叫做 Weyl 分母。它可以消掉 Verma 特征中关于 \(\prod_{\alpha\in\Phi^+}\) 的连乘，即 \[q\cdot\mathop{\mathrm{ch}}{M_\lambda}= e^{\lambda+\rho}.\] 在后面我们要用到 \(q\) 的如下性质：

证明：只要对单反射 \(s_\alpha\) 验证有 \(s_\alpha\cdot q=-q\) 即可。我们有 \[s_\alpha\cdot q=e^{s_\alpha(\rho)}\prod_{\gamma\in\Phi_+}(1-e^{-s_\alpha(\gamma)})=e^{s_\alpha(\rho)}(1-e^{-s_\alpha(\alpha)})\prod_{\gamma\in\Phi_+,\,\gamma\ne\alpha}(1-e^{-s_\alpha(\gamma)}).\] 由于 \(s_\alpha(\rho)=\rho-\alpha\) 以及 \(s(\alpha)=-\alpha\)，所以前两个因子的乘积等于 \(-e^{\rho}(1-e^{-\alpha})\)。又由于 \(s_\alpha\) 置换 \(\Phi^+\setminus\{\alpha\}\)，所以第三个因子等于 \(\prod\limits_{\gamma\in\Phi_+,\,\gamma\ne\alpha}(1-e^{-\gamma})\)。合起来就是 \[s_\alpha\cdot q=-e^{\rho}(1-e^{-\alpha})\prod_{\gamma\in\Phi_+,\,\gamma\ne\alpha}(1-e^{-\gamma})=-q.\]

\(\bullet\) 作用

一种很方便的约定是规定 Weyl 群 \(W\) 在 \(\mathfrak{h}^\ast\) 上的“点”作用 \(\bullet\) 为 \[w\bullet \lambda = w(\lambda+\rho) - \rho.\] 这个作用和通常 \(W\) 在 \(\mathfrak{h}^\ast\) 上的线性作用相比不过是把原点变换到了 \(-\rho\)，即它是以 \(-\rho\) 为中心进行变换。所以它不是线性的，即不再有 \(w\bullet(\lambda+\mu)=w\bullet\lambda+w\bullet\mu\) 成立。但它仍然是个群作用，即对 \(w_1,w_2\in W\) 有 \(w_1\bullet(w_2\bullet\lambda)=(w_1w_2)\bullet\lambda\)。

记 \(W\bullet\lambda = \{w\bullet\lambda, w\in W\}\)，则我们有如下结论：

证明：只要证明若 \(w\bullet\lambda = 1\bullet\lambda\) 则 \(w=1\) 即可。由 \(w\bullet\lambda = 1\bullet\lambda\) 可得 \(w(\lambda+\rho)=\lambda+\rho\)。由于 \(\lambda\) 是支配整权，所以 \(\lambda+\rho\) 是强支配整权，它严格位于基本胞腔 \(\mathcal{D}\) 的内部。\(W\) 中仅有唯一的元素 1 可以将 \(\lambda+\rho\) 映射到 \(\mathcal{D}\) 中，所以 \(w=1\)。

Weyl 特征公式

在本节中，约定 \(\lambda\in P^+\) 总是支配整权。这时不可约模 \(L_\lambda\) 是有限维的，Weyl 特征公式给出了 \(\mathop{\mathrm{ch}}{L_\lambda}\) 的具体形式。

记 \(S^\lambda\) 为有限集 \[S^\lambda = \{\mu\mid\mu\preceq\lambda,\,|\mu+\rho|^2=|\lambda+\rho|^2\}.\]

根据我们之前的结论，Verma \(M_\lambda\) 有有限的合成列，且合成列中每个不可约因子 \(L_\mu\) 满足 \(\mu\in S^\lambda\)。进一步，对 \(\mu\in S^\lambda\)，注意到 \(S^\mu\) 是 \(S^\lambda\) 的子集，所以 Verma 模 \(M_\mu\) 的所有不可约因子 \(L_\nu\) 满足 \(\nu\in S^\mu\subset S^\lambda\)。

对 \(\mu,\nu\in S^\lambda\)，我们用 \(a(\mu,\nu)\) 表示不可约模 \(L_\nu\) 在 Verma 模 \(M_\mu\) 的合成列因子中出现的次数。则 \(a(\mu,\nu)\) 是非负整数，满足 \(a(\mu,\mu)=1\)，以及 \(\nu\not\preceq\mu\) 则 \(a(\mu,\nu)=0\)。

于是对每个 \(\mu\in S^\lambda\)，Verma 模 \(M_\mu\) 可以分解为 \[\mathop{\mathrm{ch}}{M_\mu}=\sum_{\nu\in S^\mu}a(\mu,\nu)\mathop{\mathrm{ch}}{L_\nu}.\]

设 \(S^\lambda=\{\mu_1,\ldots,\mu_l\}\)，我们将这些 \(\{\mathop{\mathrm{ch}}{M_{\mu_i}},\mathop{\mathrm{ch}}{L_{\mu_i}}\}\) 按照降序排列，使得若 \(\mu_i\prec\mu_j\) 则 \(i > j\)（这时必有 \(\mu_1=\lambda\)），则它们之间的矩阵是一个对角线上都是 1 的上三角矩阵： \[\begin{pmatrix} \mathop{\mathrm{ch}}{M_\lambda}\\ \mathop{\mathrm{ch}}{M_{\mu_2}}\\ \vdots\\ \mathop{\mathrm{ch}}{M_{\mu_l}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & \cdots & \ast\\ & 1 & \cdots & \ast\\ & & \ddots &\vdots\\ & & & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathop{\mathrm{ch}}{L_{\lambda}}\\ \mathop{\mathrm{ch}}{L_{\mu_2}}\\ \vdots\\ \mathop{\mathrm{ch}}{L_{\mu_l}} \end{pmatrix} \] 这个矩阵可逆，且逆矩阵也是对角元是 1 的上三角矩阵，所以可以反解出 \[\mathop{\mathrm{ch}}{L_\lambda} = \sum_{\mu\in S^\lambda} b(\lambda,\mu)\mathop{\mathrm{ch}}{M_\mu}.\label{eq:q1}\tag{1}\] 其中 \(b(\lambda,\lambda)=1\)，以及对任何 \(\mu\not\preceq\lambda\) 有 \(b(\lambda,\mu)=0\)。

记 \(b_\mu=b(\lambda,\mu)\)，我们下面来解出系数 \(b_\mu\)。

将 \(q\) 乘在 \((\ref{eq:q1})\) 两边得到 \[q\cdot\mathop{\mathrm{ch}}{L_\lambda} = \sum_{\mu\in S^\lambda} b_\mu e^{\mu+\rho}\label{eq:q2}\tag{2}.\] 我们有如下引理：

我们把这个引理的证明先放一放，继续用它得出重要的 Weyl 公式。

由 引理 3 我们可以把 \((\ref{eq:q2})\) 改写成 \[q\cdot\mathop{\mathrm{ch}}{L_\lambda}=\sum_{w\in W}(-1)^{l(w)}e^{w\bullet\lambda+\rho}=\sum_{w\in W}(-1)^{l(w)}e^{w(\lambda+\rho)}.\] 即 \[q\cdot\mathop{\mathrm{ch}}{L_\lambda}=\sum_{w\in W}(-1)^{l(w)}e^{w(\lambda+\rho)}.\label{eq:q3}\tag{3}\]

特别令 \(\lambda=0\) 为一维平凡表示，则 \(\mathop{\mathrm{ch}}{L_\lambda}=e^{0}=1\)，于是我们有

Weyl 分母公式: \[q=\sum_{w\in W}(-1)^{l(w)}e^{w(\rho)}.\]

再把 Weyl 分母公式代入 \((\ref{eq:q3})\)，我们得到

Weyl 特征公式： \[\mathop{\mathrm{ch}}{L_\lambda} = \frac{\sum_{w\in W}(-1)^{l(w)}e^{w(\lambda+\rho)}}{\sum_{w\in W}(-1)^{l(w)}e^{w(\rho)}}.\]

回到 引理 3 的证明。

我们先证明当 \(\mu=w\bullet\lambda\) 时有 \(b_\mu=(-1)^{l(w)}\) 成立。

将 \(w\in W\) 作用在 \((\ref{eq:q2})\) 两边，并注意 \(\mathop{\mathrm{ch}}{L_\lambda}\) 是 \(W-\) 不变的以及 命题 3 的结论 \(w\cdot q=(-1)^{l(w)}q\)，得到 \[q\cdot\mathop{\mathrm{ch}}{L_\lambda}=\sum_{\mu\in S^\lambda}(-1)^{l(w)}b_\mu e^{w(\mu+\rho)}.\label{eq:q4}\tag{4}\] 将 \((\ref{eq:q4})\) 中的求和符号换成 \(\nu\)，并比较 \((\ref{eq:q2})\) 和 \((\ref{eq:q4})\)，我们有 \[\sum_{\mu\in S^\lambda} b_\mu e^{\mu+\rho}=\sum_{\nu\in S^\lambda}(-1)^{l(w)}b_\nu e^{w(\nu+\rho)}.\label{eq:q5}\tag{5}\]

设 \(\mu\) 使得 \(b_\mu\ne0\)。比较 \((\ref{eq:q5})\) 两边 \(e^{\mu+\rho}\) 项的系数，我们得到若 \(\mu+\rho=w(\nu+\rho)\)，即如果 \(\mu=w\bullet\nu\)，则 \[b_\mu = (-1)^{l(w)}b_\nu.\label{eq:q6}\tag{6}\] 特别地由于 \(b_\lambda=1\)，所以如果 \(\mu=w\bullet\lambda\) 则 \[b_\mu=(-1)^{l(w)}.\label{eq:q7}\tag{7}\]

再证明 \(\{\mu\in S^\lambda\mid b_\mu\ne0\}\) 和 \(W\bullet\lambda\) 是一一对应的。

在前面的 命题 4 中我们已经看到 \(\{w\bullet\lambda\mid w\in W\}\) 是互不相同的。设 \(\mu=w\bullet\lambda\)，我们来说明 \(\mu\in S^\lambda\)。这比较简单，因为 \(\lambda+\rho\) 是强支配整权，对所有 \(w\) 都有 \(w(\lambda+\rho)\preceq \lambda+\rho\)，从而 \(\mu=w\bullet\lambda\preceq\lambda\)。另一方面 \(w\) 保持内积 \((\cdot,\cdot)\)，所以 \[|\lambda+\rho| = |w(\lambda+\rho)|=|\mu+\rho|.\] 从而 \(\mu\in S^\lambda\)。此外 \((\ref{eq:q7})\) 告诉我们这时 \(b_\mu=(-1)^{l(w)}\ne0\)，所以我们证明了 \(W\bullet\lambda\) 可以嵌入到 \(\{\mu\in S^\lambda\mid b_\mu\ne0\}\) 中。

再证明反向的包含关系。即如果 \(\mu\in S^\lambda\) 且 \(b_\mu\ne0\)，则 \(\mu\in W\bullet\lambda\)。我们知道 Weyl 群传递地作用在所有的胞腔 (chambers) 上，因此总可以选取 \(w\in W\) 使得 \(w(\mu+\rho)\) 落在基本胞腔 \(\mathcal{D}\) 内，即 \(w(\mu+\rho)\) 是一个支配整权。

设 \(\nu=w\bullet\mu=w(\mu+\rho)-\rho\)，我们来证明 \(\nu=\lambda\)，从而 \(\mu=w^{-1}\bullet\lambda\in W\bullet\lambda\)。

由于 \(\nu=w\bullet\mu\) 和 \(b_\mu\ne0\)，根据 \((\ref{eq:q6})\)，\(b_\nu\) 也不等于 0。这说明 \(\nu\preceq\lambda\)。所以可以设 \[\lambda -\nu=\gamma=\sum_{\alpha\in\Phi^+}k_\alpha\alpha\] 为正根的非负整系数线性组合。则 \[0=|\lambda+\rho|^2-|\nu+\rho|^2=(\lambda+\rho,\gamma)+(\nu+\rho,\gamma).\] 由于 \(\lambda+\rho\) 是强支配整权，\(\nu+\rho=w(\mu+\rho)\) 是支配整权，\(\gamma\) 是正根的非负整系数线性组合，所以上面的和等于 0 只能在 \(\gamma=0\) 时才能发生，即 \(\nu=\lambda\)。

至此 引理 3 得证，从而 Weyl 特征公式得证。

例子：\(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})\) 的特征公式

本节以 \(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})\) 为例来给出它的有限维不可约表示的特征，即著名的 Schur 多项式。

以下是 \(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})\) 的一些基本信息：

1. Cartan 子代数为 \[\mathfrak{h}=\left\{\begin{pmatrix}a_1 &&&\\ &a_2&&\\&&\ddots&\\&&&a_n\end{pmatrix}\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})\,|\, a_1+a_2+\cdots+a_n=0\right\}.\] 其对偶空间为 \(\mathfrak{h}^\ast=\mathbb{C}\{L_1,\ldots,L_n\}/(L_1+\cdots+L_n)\)，其中线性泛函 \[L_i\left(\begin{pmatrix}a_1 &&&\\ &a_2&&\\&&\ddots&\\&&&a_n\end{pmatrix}\right) = a_i.\]

2. 设 \(E_{ij}\) 为 \((i,j)\) 位置的分量是 1，其它位置均为 0 的矩阵，则 Cartan 子代数的一组基为 \(\{H_i = E_{ii} - E_{i+1,i+1}, 1\leq i\leq n-1\}\)。

3. 记 \(H_{ij} = E_{ii}- E_{jj}\)，则对任何 \(i<j\)，\(\{E_{ij},E_{ji},H_{ij}\}\) 构成一个 \(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\) 三元组。

4. 一组单根为 \(\Delta=\{L_i-L_{i+1},1\leq i\leq n-1\}\)，对应的全体正根为 \(\Phi^+=\{L_i-L_j,i<j\}\)。

5. Weyl 群为 \(n\) 阶置换群 \(S_n\)。\(W\) 在 \(\mathfrak{h}^\ast\) 上的作用如下：对任何 \(\sum a_iL_i\)，\(\sigma\in S_n\) 将 \((L_1,\ldots,L_n)\) 置换为 \((L_{\sigma(1)},\ldots,L_{\sigma(n)})\)。

6. Killing 型限制在 \(\mathfrak{h}\) 上为 \(\kappa(A,B)=2n\mathop{\mathrm{tr}}{AB}=2n\sum_{i=1}^na_ib_i\)。

7. 正根 \(\alpha=L_i-L_j\) 在 \(\mathfrak{h}\) 中对等的元素为 \(t_\alpha=\frac{1}{2n}H_{ij}\)，对应的余根为 \(h_\alpha=H_{ij}\)。

8. 所有正根之和的一半 \(\rho=\frac{1}{2}((n-1)L_1 +(n-3)L_2+\cdots+(1-n)L_{n})\)。由于 \(L_1+\cdots+L_n=0\) 我们可以给 \(\rho\) 加上 \(\frac{n-1}{2}(L_1+\cdots+L_n)\) 从而取 \(\rho=(n-1)L_1+(n-2)L_2+\cdots+L_{n-1}+0L_n\)。

9. 一组基本整权为 \(\{\omega_i=L_1+\cdots+L_i,1\leq i\leq n-1\}\)。

10. \(\lambda\in P^+\) 是支配整权当且仅当 \(\lambda\) 是基本整权的非负整系数线性组合，即 \[\lambda=\sum a_i\omega_i=(a_1+\cdots+a_{n-1})L_1+(a_2+\cdots+a_{n-1})L_2+\cdots +a_{n-1}L_{n-1}.\] 设 \(\lambda_i=a_1+\cdots+a_i\) 并规定 \(\lambda_n=0\)，则 \(\lambda_i\in\mathbb{Z}_{\geq0}\) 且 \(\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_{n-1}\geq\lambda_n=0\)。

11. 记 \(x_i=e^{L_i}\)，则 \(e^{\lambda}= x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\cdots x_n^{\lambda_n}\)，\(e^{\rho}= x_1^{n-1}x_2^{n-2}\cdots x_{n-1}x_n^0\)，且对任何 \(\sigma\in S_n\) 有 \(e^{\sigma(\lambda)}=e^{\sum \lambda_iL_{\sigma(i)}}=x_{\sigma(1)}^{\lambda_1}x_{\sigma(2)}^{\lambda_2}\cdots x_{\sigma(n)}^{\lambda_n}\)。

    于是根据 Weyl 特征公式有

    \[\mathop{\mathrm{ch}}{V_\lambda}=\frac{\sum_{\sigma\in S_n}\mathop{\mathrm{sgn}}{\sigma}x_{\sigma(1)}^{\lambda_1+n-1}x_{\sigma(2)}^{\lambda_2+n-2}\cdots x_{\sigma(n)}^{\lambda_n}}{\sum_{\sigma\in S_n}\mathop{\mathrm{sgn}}{\sigma}x_{\sigma(1)}^{n-1}x_{\sigma(2)}^{n-2}\cdots x_{\sigma(n)}^{0}}=\frac{\det(x_j^{\lambda_i+n-i})}{\det(x_j^{n-i})}.\] \(\mathop{\mathrm{ch}}{V_\lambda}\) 是一个整系数对称多项式 \(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\)，叫做 Schur 多项式。

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