Poncelet 定理与 Blaschke 乘积

下面这个动画是受到 Finding Ellipses: What Blaschke Products, Poncelet’s Theorem, and the Numerical Range Know about Each Other 这本书启发所作:

看起来似乎一目了然:一个圆 \(C\) 内有一个变动的椭圆 \(E\)\(C\) 有一组内接三角形同时外切于 \(E\)。但是我打包票保证你绝难猜到它说的是什么事情。

下面是动画的制作过程:

  1. 首先在单位圆 \(C\) 内任取两个点 \(a,b\),它们将作为椭圆的两个焦点。
  2. 构造 Blaschke 乘积 \[B(z)=z\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\frac{z-b}{1-\overline{b}z}.\] \(B(z)\) 是一个解析函数,它的三个因子每一个都保持单位圆的内部不变,将圆周 \(C\) 仍然映射为 \(C\),所以 \(B(z)\) 也是如此。而且 \(B(z)\) 是一个 3 对 1 的映射:对任何 \(|\lambda|\leq 1\) 有三个原像 (未必不同) \(z_1,z_2,z_3\) 使得 \(B(z_i)=w,\,i=1,2,3\)。这一点不难从 \(B(z)=\lambda\) 是一个关于 \(z\) 的严格三次多项式看出来。
  3. 更进一步,对任何 \(|\lambda|=1\)\(B(z)=\lambda\) 的三个根必然是互不相同的 (证明省略),这三个根构成单位圆 \(C\) 的一个内接三角形 \(\Delta ABC\)\(\Delta ABC\) 外切于以 \(a,b\) 为焦点的椭圆 \[|z-a|+|z-b|=|1-\overline{a}b|.\]
  4. \(\lambda\) 变动时,\(\Delta ABC\) 也随之变动,得到的就是上面的动画。

动画中我取了 \(a\) 为原点,\(b\in(0,1)\) 为实数,原因是一般情形 mathematica 给出的解的表达式实在是看得人头大。😁

正如开头书名所提示的,这个故事同时与 Poncelet 定理和 Blaschke 乘积有关。


假设有两个椭圆 \(E_1,\,E_2\)\(E_2\) 位于 \(E_1\) 的内部。在 \(E_1\) 上选定一点 \(A_1\),从 \(A_1\) 出发作 \(E_2\) 的切线与 \(E_1\) 交于 \(A_2\),然后从 \(A_2\) 出发引另一条关于 \(E_2\) 的切线交 \(E_1\)\(A_3\),...,如此一直进行下去。则有两种可能:

  1. 经过 \(N\) 次操作以后 \(A_{N+1}=A_1\),这时所有切线围成一个 \(N\) 边形 \(P\)\(P\) 内接于 \(E_1\) 同时外切于 \(E_2\)
  2. 所有的切点 \(A_1,\,A_2,\,\ldots,\,\) 全部互不相同。

下面的动画显示了 \(N=3\) 的情形,并且外面的椭圆 \(E_1\) 是个圆 1

Poncelet 定理说的是,如果情形 1 对 \(E_1\) 上的某个点 \(A_1\) 成立,则它对 \(E_1\) 上所有点都成立,并且所有得到的多边形都是 \(N\) 边形。同样地如果情形 2 对某个点成立,则对椭圆上所有点 \(A_1\),序列 \(\{A_1,\,A_2,\,\ldots\,\}\) 也都互不相同,并且在边界 \(E_1\) 上是稠密的。

可以料见,“作 \(N\) 次切线后回到起点”这种好事不是那么容易发生的。\(E_1,E_2\) 必须满足一些条件才行。对一般的 \(N\) 这个条件可以用 Jacobi 椭圆函数来描述,有点高深。不过在 \(N=3\)\(E_1\) 为单位圆时,这个条件是非常简单的,\(E_2\) 必然形如 \(|z-a| + |z-b|=|1-\overline{a}b|\),其中 \(|a|<1,\,|b|<1\) 是单位圆内两点。并且对单位圆上任意一点 \(A_1\),三角形的另外两个顶点是 \(B(z)=B(A_1)\) 的另外两个根。

这个故事还与矩阵的 numeric range (数值域) 有关,我不太熟悉这方面,就不再叨叨了。


  1. 取其中一个椭圆为圆并不损失一般性,因为我们总是可以用一个仿射变换把其中一个椭圆变成圆,相切关系保持不变。↩︎

 | 

当前网速较慢或者你使用的浏览器不支持博客特定功能,请尝试刷新或换用Chrome、Firefox等现代浏览器