Möbius 变换的分类与 Poincaré 双曲空间的等距

这几天因为疫情居家观察难得多出点时间 (不用健步挤地铁),可以写点小文章。我之前写过一篇介绍 Möbius 变换分类的文章,今天继续那里的讨论,介绍 Möbius 变换 \(M\) 作为 Poincaré 双曲空圆盘 \(\mathbb{H}\) 上的等距的两种构造方法:

  1. 指定 \(M\)\(\mathbb{H}\) 中不动点的位置,根据变换是椭圆/抛物/双曲的,来确定对应的旋转/平移/缩放值。
  2. 指定一对 \(\mathbb{H}\) 中的测地线作为镜面,则关于这两个镜面的反演变换的复合变换是一个 Möbius 变换,此变换是椭圆/抛物/双曲型的,当且仅当这对镜面在 \(\mathbb{H}\) 中是相交/平行/超平行的。

这两种方法分别对应在 \(M\) 作用下保持不变的两个圆族。

本文的插图使用 matplotlib 绘制,代码在 github 上。没有使用 shader 画的一个原因是因为计划用这部分代码继续画 circle packing,另一个原因是采用 Python 实现可以比较严格的遵循数学逻辑。当然如果后面有时间也不排除加上 shader 动画的可能。

记号约定:

  • \(\mathbb{H}\) 为二维 Poincaré 双曲圆盘。
  • \(M\) 为一个 Möbius 变换。
  • \(S^1\) 为单位圆周 \(|z|=1\)

用不动点构造双曲等距

在复分析课程中,我们学过 \(\mathbb{H}\) 的保持定向的等距同构是 Möbius 群的一个子群,其中元素具有如下的表示形式: \[M(z) = \mathrm{e}^{i\theta}\frac{z - a}{1-\overline{a}z},\quad \theta\in\mathbb{R},\, |a|<1.\] 可见 \(M\) 的迹 \(\mathrm{tr}(M)=\mathrm{e}^{i\theta}+1\) 总是满足 \(0\leq|\mathrm{tr}(M)|\leq2\),所以 \(M\) 不可能是斜航型的 (loxodromic),从而 \(\mathbb{H}\) 的保持等向的等距只能是椭圆、抛物、双曲三种。

这一点也可以从圆族上看出来:\(\mathbb{H}\) 的任何等距变换必然保持单位圆不变,但斜航型的变换没有不变圆,所以不可能是 \(\mathbb{H}\) 上的等距变换。

下面分别介绍这三种情形。

椭圆型

椭圆型变换共轭于复平面上的旋转 \(z\to\mathrm{e}^{i\theta}z\),它们总是有两个不动点。如果 \(M\)\(\mathbb{H}\) 上的椭圆型等距,则其两个不动点 \(p_1,p_2\) 必然一个在单位圆内,一个在单位圆外,且它们关于单位圆互为反演点。设 \(p_1\)\(M\) 在单位圆内的不动点,则 \(M\)\(\mathbb{H}\) 上的作用是一个绕着 \(p_1\) 的旋转:

图中画出了两族圆:

  1. 第一族圆是彩色的,它们在双曲度量下的中心都是 \(p_1\)\(M\) 作用在它们上面保持每个圆不变,同时将圆上的每个点绕着 \(p_1\) 旋转。
  2. 第二族圆用虚线标注,这些圆都和第一族圆正交、同时经过 \(p_1\)\(p_2\),并且都与单位圆正交。\(M\) 作用在这些圆上会把一个圆变成同族中的另一个。

注意双曲空间中的圆也是欧式空间中的圆,但是它们的圆心未必重合。双曲度量下越靠近边界,它和欧式距离相比的“比例尺”就越大,所以如果一个 \(\mathbb{H}\) 中的圆靠近单位圆,它在双曲度量下的中心也会被“吸引”到靠近边界的位置。

抛物型

抛物型变换共轭于复平面上的平移 \(z\to z+1\),它们总是只有一个不动点。如果 \(M\)\(\mathbb{H}\) 上的抛物型等距,则其唯一的不动点 \(p\) 必然位于单位圆周 \(S^1\) 上,\(M\)\(\mathbb{H}\) 上的作用是一个双曲空间中的平移:

图中也画出了两族圆:

  1. 第一族圆是彩色的,它们都和 \(S^1\)\(p\) 点处相切。\(M\) 作用在它们上面保持每个圆不变,同时将圆上的每个点沿着测地线向着 \(p\) 移动。这些圆叫做 horocycle,它们在双曲度量下的圆心是 \(p\)
  2. 第二族圆用虚线标注,这些圆都和第一族圆正交、互相之间也在 \(p\) 点相切,并且都与单位圆正交。\(M\) 作用在这些圆上会把一个圆变成同族中的另一个。

双曲型

双曲型变换共轭于复平面上的缩放 \(z\to cz,\,c\in\mathbb{R}^+\),它们总是有两个不动点。如果 \(M\)\(\mathbb{H}\) 上的双曲型等距,则其两个不动点 \(p_1,p_2\) 必然都位于单位圆周 \(S^1\) 上。\(M\)\(\mathbb{H}\) 上的作用以其中一个为源点,另一个为汇点:

图中的两族圆中,

  1. 第一族圆是彩色的,它们同时经过 \(p_1\)\(p_2\)\(M\) 作用在它们上面保持每个圆不变,同时将圆上的每个点沿着圆给出的测地线从源点移动到汇点。
  2. 第二族圆用虚线标注,这些圆都和第一族圆正交、\(p_1\)\(p_2\) 关于它们中的每一个都互为反演点,并且都与单位圆正交。\(M\) 作用在这些圆上会把一个圆变成同族中的另一个。

用反演变换的复合构造双曲等距

在上面的三张图中,彩色的圆对应的是 \(\mathbb{H}\) 中的点在 \(M\) 作用下的轨迹,它们都是测地线。我似乎有意冷落了虚线的圆族,把它们画的很不起眼。其实通过它们的反演变换也可以给出 \(M\) 的构造:

椭圆型 抛物型 双曲型
  • \(M\) 是椭圆型的,当且仅当它是两个在 \(\mathbb{H}\)相交的圆的反演变换的复合。
  • \(M\) 是抛物型的,当且仅当它是两个在 \(\mathbb{H}\)平行的圆的反演变换的复合。这里平行的意思是两圆相切,且切点位于无穷远边界上。
  • \(M\) 是双曲型的,当且仅当它是两个在 \(\mathbb{H}\)超平行的圆的反演变换的复合。这里超平行的意思是它们要么不相交,要么一个完全位于另一个的内部。

这些背后的原因都不难理解:

  • 椭圆型变换共轭于绕原点的角度为 \(\theta\) 的旋转,此旋转是两个夹角为 \(\theta/2\) 的直线反射的复合。这两个直线可以选取为 Poincaré 空间中过原点的两直线。
  • 抛物型变换共轭于平移 \(z\to z + 1\),此平移是关于两平行直线 \(x=0\)\(x=1/2\) 的反射的复合。这两条直线位于上半双曲空间模型中,可以用一个等距变换把 \(\infty\) 点变到边界上任意一点 \(p\),所有的形如 \(x=k\) 的直线都变成过 \(p\) 点、与单位圆正交,且两两相切于 \(p\) 的圆。
  • 双曲型变换共轭于缩放 \(z\to cz,\,c>0\),此变换是关于两个同心圆 \(|z|=1\)\(|z|=\sqrt{c}\) 反演变换的复合。这两个圆需要来自上半双曲空间,然后变换回 Poincaré 空间。

:为什么两个圆的反演变换的复合是一个 Möbius 变换?对一个圆 \(C\),你可以用一个 Möbius 变换 \(T\)\(C\) 变为实直线 \(\mathbb{R}^1\),关于 \(\mathbb{R}^1\) 的反演就是复共轭 \(\mathrm{conj}(z)=\overline{z}\),所以关于 \(C\) 的反演为 \(S=T^{-1}\cdot\mathrm{conj}\cdot T\),从而 \(S\) 形如 \[S(z) = \frac{a\overline{z} + b}{c\overline{z}+d},\quad a,b,c,d\in\mathbb{C},\,z\in\mathbb{C}_{\infty}.\] 所以两个反演变换的复合是 Möbius 变换。

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