Möbius 变换与球的刚体运动

五一期间我写了一个 shadertoy 小动画,演示 Möbius 变换与球的刚体运动之间的关系:

这个动画的名字叫做 Möbius transformation revealed,想法源自 Douglas N. Arnold 和 Jonathan Rogness 于 2007 年发布的同名视频。这是一个很有名的视频,它表达的核心思想是,扩充复平面 \(\overline{\mathbb{C}}\) 上的 Möbius 变换可以由球的刚体运动给出:

  1. 我们称一个球 \(S\)容许的,如果 \(S\) 的最高点,也就是北极点位于半空间 \(\{z>0\}\) 中。
  2. 取任何一个可容许的球 \(S\),将 \(\overline{\mathbb{C}}\) 在逆球极投影下对应到 \(S\) 的球面上。
  3. \(S\) 作刚体变换 (平移和旋转) \(S\to T(S)\),使得 \(T(S)\) 也是一个容许的球,即 \(T(S)\) 的最高点也在半空间 \(\{z>0\}\) 中。
  4. \(T(S)\) 的表面通过球极投影再映射回 \(\overline{\mathbb{C}}\),我们就得到了一个 \(\overline{\mathbb{C}}\to\overline{\mathbb{C}}\) 的变换,此变换是一个 Möbius 变换,且所有 Möbius 变换都可以通过此种方式得到。

注意球极投影使用的北极点始终是球面的最高点,它是随球面的运动而移动的。

详细的解释可以见上面链接中给出的文章。但是从直观上理解也不难:(这里还有一个交互式的网页可以帮你理解)

  • \(S\)\(xy\) 平面内的平移给出的是 \(\overline{\mathbb{C}}\) 上的平移。
  • \(S\)\(z\) 方向上的平移给出的是 \(\overline{\mathbb{C}}\) 上的缩放。
  • 保持 \(S\) 的北极点不动的旋转给出的是 \(\overline{\mathbb{C}}\) 上的旋转。
  • 不保持 \(S\) 的北极点的旋转给出的是 \(\overline{\mathbb{C}}\) 上的反演。

而所有 Möbius 变换都是平移、缩放、旋转、反演变换的复合,因而可以由可容许球面的刚体运动得到。

其实对给定的 Möbius 变换 \(M\) 和容许的球 \(S\),当 \(S\) 的初始位置确定以后,给出 \(M\) 的刚体运动 \(T\) 也是唯一确定的。这个结论于 2012 年被 Siliciano 所证明。

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