Coxeter 群基础知识 (二):几何实现

在本系列的第一篇文章中讨论了两个反射生成的万花筒的结构,这篇文章是本系列的第二篇,将讨论推广到一般的有限生成 Coxeter 群。

我们还是会同时关注 \(V^\ast\) 中根系 (反射镜面) 的结构和 \(V\) 中 Tits 锥 (万花筒) 的结构。

“锥”是本文中出现的一个高频词,有必要在这里明确澄清。本文采用如下定义:

\(V\) 是一个实向量空间,称集合 \(C\subset V\) 是一个,如果对任何 \(x\in C\) 和实数 \(\alpha\geq0\)\(\alpha x\in C\)。此外如果 \(C\) 还是一个凸集,就称 \(C\) 是一个凸锥。这时对任何 \(x,y\in C\) 和非负实数 \(\alpha,\beta\geq0\) 都有 \(\alpha x + \beta y\in C\) 成立。

抽象 Coxeter 群

万花筒有一些“内蕴”的性质是不依赖于镜面的具体布局和反射变换的表达式的,我们需要剥离这些表象的东西,把万花筒的对称性提取出来,得到的就是抽象 Coxeter 群。我们会看到这个群可以由镜面两两之间的二面角决定。

\(S\) 是一个集合,一个基于 \(S\) 的 Coxeter 矩阵 \(M=(m_{s,t})_{s,t\in S}\) 是一个对称矩阵,其对角线上都是 1,非对角线元素取值范围为 \(\{2,3,\ldots,\infty\}\)\(S\) 的基数 \(|S|\) 叫做 \(M\) 的秩 (rank),在本文中我们只考虑 \(M\) 的秩为有限的情形。

对任一给定的 Coxeter 矩阵 \(M\)\(M\) 确定了一个 Coxeter 群 \(W\),它具有如下的表现: \[W = \langle s\in S\ |\ (st)^{m_{s,t}}=1\ {\rm if}\ m_{s,t}<\infty\rangle.\]

于是 \(S\) 作为 \(W\) 的生成元满足如下的生成关系:

  1. 对任何 \(s\in S\)\(s^2=1\)
  2. 对任何 \(s\ne t, m_{s,t}<\infty\) 有辫关系 \(\overbrace{sts\cdots}^{m_{s,t}}=\overbrace{tst\cdots}^{m_{s,t}}\) 成立。

我们把 \((W, S)\) 叫做一个 Coxeter 系。

\(W\) 中的任一元素 \(w\),它可能有许多种不同的方式表示为 \(S\) 中生成元的乘积。在 \(w\) 的所有表示中,长度最短的表示叫做 \(w\)既约表示:即若 \(w=s_{i_1}s_{i_2}\cdots s_{i_k}\) 是一个长度为 \(k\) 的乘积,且 \(w\) 不存在任何长度小于 \(k\) 的表示,就称 \(s_{i_1}s_{i_2}\cdots s_{i_k}\)\(w\) 的既约表示。\(w\) 的既约表示可能不唯一,但它们都具有相同的长度。\(w\) 的长度 \(l(w)\) 就定义为 \(w\) 的任意一个既约表示的长度。

\(l(w)\) 具有如下的性质:

  1. \(l(xy)\leq l(x) + l(y)\)
  2. \(l(w) = l(w^{-1})\)
  3. \(l(w)=0\) 当且仅当 \(w\) 是恒等元。
  4. \(l(ws)\) = \(l(w)\pm 1\),其中 \(w\in W, s\in S\)

前三点都是显然的,只有 4 需要证明。显然 \(|l(ws)-l(w)|\leq 1\),所以只要说明 \(l(ws)\)\(l(s)\) 不相等即可。这一步需要用到自由群的泛性质:

\(F\) 是由集合 \(S\) 生成的自由群,定义群同态 \({\rm sgn}: F\to{\pm1}\) 如下:对自由群 \(F\) 的每个生成元 \(s\in S\) 定义映射 \({\rm sgn}(s)=-1\),然后将此映射扩充为 \(F\)\({\pm1}\) 的群同态。容易验证 \((W,S)\) 的所有生成关系都属于这个同态的核,因此 \({\rm sgn}\) 诱导了一个从 \((W,S)\)\({\pm1}\) 的群同态。在此同态下,若 \(w=s_{i_1}s_{i_2}\cdots s_{i_k}\)\(w\) 的任一既约表示,则 \[{\rm sgn}(w)={\rm sgn}(s_{i_1}){\rm sgn}(s_{i_2})\cdots{\rm sgn}(s_{i_k})=(-1)^k=(-1)^{l(w)}.\] 从而 \({\rm sgn}(ws)={\rm sgn}(w){\rm sgn}(s)=-{\rm sgn}(w)\) 说明 \(l(ws)\ne l(w)\)

Coxeter 群的几何实现

\((W,S)\) 是一个 Coxeter 系,\(M=(m_{s,t})_{s,t\in S}\) 是 Coxeter 矩阵。定义其 Cartan 矩阵为 \(C=(c_{s,t})_{s,t\in S}\),其中 \[c_{s,t}=c_{t,s} = \begin{cases}-2\cos\dfrac{\pi}{m_{s,t}} & m_{s,t}<\infty,\\ a_{s,t} & m_{s,t}=\infty.\end{cases}\] 这里的 \(a_{s,t}\leq -2\) 是一个负数。\(a_{s,t}\) 的选择有一定的任意性,任何 \(\leq-2\) 的实数都是可以的,并且不同的 \((s,t)\) 对可以使用不同的 \(a_{s,t}\)。我们可以假定对每个 \(m_{s,t}=\infty\) 都选好了一个对应的 \(a_{s,t}\leq-2\)

注意到 Cartan 矩阵的对角元总是等于 2,而非对角元则总是非正的。

:在万花筒中,\(a_{s,t}=-2\) 对应的是两个仿射的平行镜面,\(a_{s,t}<-2\) 对应的是双曲空间中两个超平行的镜面。

\(V\) 是一个维数为 \(|S|\) 的实向量空间,其对偶空间为 \(V^\ast\),取 \(V^\ast\) 中的一组基为 \(\{\alpha_s \mid s\in S\}\)。这是一组线性无关的线性泛函,所以根据线性方程组基本定理,我们可以取 \(V\) 中的一组向量 \(\{\alpha_s^\vee\mid s\in S\}\) 使得对任何 \(s,t\in S\)\(\langle \alpha_s,\,\alpha_t^\vee\rangle=c_{s,t}\) 成立。

:设 \(\alpha_s\) 形如 \(\langle \alpha_s,\,x\rangle= a_{s,1}x_1+\cdots a_{s,n}x_n\),把 \((a_{s,1},\ldots,a_{s,n})\) 作为行向量构成矩阵 \(A=(a_{i,j})\)。由于 \(\{\alpha_s\}\)\(V^\ast\) 的一组基,所以 \(A\) 是可逆矩阵,矩阵方程 \(AX = C\) 有唯一解。\(X\) 的列向量即为 \(\alpha_s^\vee\)

对任一 \(s\in S\),定义 \(V\) 上的反射 \(\rho_s\)\[\rho_s(v) = v - \langle \alpha_s,\,v\rangle\alpha_s^\vee,\quad v\in V.\] 当然 \(\rho_s\) 也可以作为 \(V^\ast\) 中的反射: \[\rho_s(\lambda) = v - \langle \lambda,\,\alpha_s^\vee\rangle\alpha_s,\quad \lambda\in V^\ast.\] 并且 \(\rho_s\)\(V,V^\ast\) 中的这两种反射表示是互相伴随的: \[\langle \rho_s\cdot \lambda,\,v\rangle = \langle \lambda,\,\rho_s\cdot v\rangle,\quad v\in V,\lambda\in V^\ast.\]

我们现在为止做的事情都有很强的目的性:

  1. 我们把 Cartan 矩阵的非对角线元素都定义为负值,并且同时为 0 或者同时不为 0。根据上一篇文章中的讨论,这样任何一对反射 \(\rho_s,\rho_t\) 可以生成一个二维万花筒,其基本区域 \(K\)\(\rho_s,\rho_t\) 生成的群 \(W_{s,t}\) 的作用下互不重合。下面会看到,反射之间这样两两构成万花筒,就可以保证整个 \(W\)\(V\) 上的作用也构成一个万花筒,即存在一个基本区域 \(\mathcal{D}\) 使得 \(w\mathcal{D}\cap\mathcal{D}=\emptyset\) 对任何 \(w\in W,w\ne1\) 成立。
  2. 我们区分了 \(V\) 和对偶空间 \(V^\ast\)。许多教材在开始的时候会采用一种简单些的做法:取 \(\{\alpha_s\mid s\in S\}\)\(V\) 的一组基,并定义 \(V\) 上的内积 \(\bullet\)\[\alpha_s\bullet\alpha_t=\begin{cases}-\cos\dfrac{\pi}{m_{s,t}}&m_{s,t}<\infty,\\-1&m_{s,t}=\infty.\end{cases}\] 并使用这个内积来定义反射。这相当于把每个 \(\alpha_s\) 作为 \(V\) 中一个反射镜面的法向量。这种做法好处是会简化一些讨论,但后面也无法避免引入对偶空间。其中的问题是,如果我们想把所有反射镜面的正半空间之交 \[\bigcap_{s\in S}\{v\in V\mid\alpha_s\bullet v>0\}\] 作为万花筒的基本区域 \(\mathcal{D}\),则 \(\mathcal{D}\) 可能会是空集。比如 Coxeter 矩阵 \(\begin{bmatrix}1 & \infty\\\infty&1\end{bmatrix}\) 给出的内积 \(\bullet\)\[\alpha_s\bullet\alpha_s=\alpha_t\bullet\alpha_t=1,\ \alpha_s\bullet\alpha_t=-1.\] 假设 \(v=a\alpha_s+b\alpha_t\) 满足 \(v\bullet\alpha_s>0\)\(v\bullet\alpha_t>0\),你会发现这要求 \(a>b\)\(b>a\),不存在这样的 \(v\)!但是通过区分 \(V\)\(V^\ast\) 上的作用就可以避免这个问题。因为 \(\{\alpha_s\}\) 是一组线性无关的泛函,根据上面的讨论,它们的正半空间的交一定是个非空的开集。
  3. 根据上一篇文章中的分析,对任何一对反射 \(\rho_s,\rho_t\),由于 \(n_{s,t}\) 要么形如 \(4\cos^2\pi/m\),这时 \(\rho_s,\rho_t\) 生成的群 \(W_{s,t}\) 是二面体群 \(D_m\);要么 \(n_{s,t}\geq4\),这时 \(W_{s,t}\) 是无限群。于是映射 \(s\to\rho_s\) 给出了 \((W,S)\) 的一个线性表示 \(\rho: W\to\rho(W)\leqslant{\rm GL}(V)\)。后面我们将证明表示 \(\rho\) 实际是一个同构,从而我们可以把抽象的 Coxeter 群 \(W\)\({\rm GL}(V)\) 的子群 \(\rho(W)\) 等同起来,不再区分二者,并把 \(w\in W\)\(V\) 上的作用记作 \(wv = \rho(w)(v)\)

现在我们给出一些关键概念的定义。

定义所有线性泛函 \(\{\alpha_s\}\) 的正半空间的交为 \(\mathcal{D}= \cap_{s\in S}\{\alpha_s > 0\}\subset V\),你可以把 \(\mathcal{D}\) 理解为万花筒中原像所在的房间。\(\mathcal{D}\) 必然是个非空开集,其闭包记作 \(\overline{\mathcal{D}}\)\(\overline{\mathcal{D}}\) 就是 \(\mathcal{D}\) 加上了房间四周的墙壁。

我们称集合 \[\Phi=\{w\alpha_s\mid w\in W, s\in S\}\]\((W, S)\)根系,任何 \(\lambda\in\Phi\) 叫做一个根向量,简称为根都是对偶空间 \(V^\ast\) 中的非零线性泛函。我们之前选择的 \(V^\ast\) 的一组基 \(\Delta=\{\alpha_s\mid s\in S\}\) 叫做一组单根系,其中的根叫做单根。由于 \(\Delta\) 构成 \(V^\ast\) 的一组基,所以 \(\Phi\) 中任何根 \(\lambda\) 都是单根的线性组合: \[\lambda = \sum_{s\in S}c_s\alpha_s,\quad c_s\in\mathbb{R}.\] 如果上面的所有系数 \(c_s\) 都非负,就称 \(\lambda\) 是一个正根;反之若所有系数 \(c_s\) 都非正,就称 \(\lambda\) 是一个负根。正根和负根组成的集合分别记作 \(\Phi^+\)\(\Phi^-\),显然 \(\Phi^+\cap\Phi^-=\emptyset\)

这里有一个问题:系数 \(c_s\) 一定同时非负或者同时非正吗?换句话说,是不是每个根必须是正根就是负根?

答案是肯定的,为此我们需要一个关键的定理。

关键定理

现在我们来证明一个非常关键的结论,它是本文的核心。不夸张的说,Coxeter 群的许多基本性质都可以从它导出。

定理 1:设 \(s\in S, w\in W\),则

  1. \(l(ws) > l(w)\) 当且仅当 \(w\alpha_s\in\Phi^+\)
  2. \(l(ws) < l(w)\) 当且仅当 \(w\alpha_s\in\Phi^-\)

注意第二个结论和第一个是等价的:如果第一个结论成立,则 \[\begin{align*} l(ws)<l(w)&\Leftrightarrow l((ws)s) > l(ws)\\ &\Leftrightarrow ws(\alpha_s)\in\Phi^+\\ &\Leftrightarrow w(-\alpha_s)\in\Phi^+\\ &\Leftrightarrow w\alpha_s\in\Phi^-. \end{align*}\]

所以只需要证明第一个结论即可。首先我们需要一个引理:

引理:设 \(T\subseteq S\)\(S\) 的子集,\(T\) 中的生成元在 \((W,S)\) 中生成一个子群 \(W_T \leqslant (W,S)\)\(W_T\) 叫做标准椭圆子群。设 \(w\)\(W\) 中任一元素,则存在 \(x\in W\)\(u\in W_T\) 满足:

  1. \(w=xu\)\(l(w)=l(x)+l_T(u)\)
  2. 对任何 \(t\in T\)\(l(xt) > l(x)\)

其中 \(l_T(\cdot)\)\(W_T\) 上的长度函数。

引理的证明:满足要求的一对 \((x, u)\) 可以这样求出来:

1
2
3
4
5
6
x := w
u := 1
while l(xt) < l(x) for some t in T
x := xt
u := tu
end

我们来证明这个 while 循环结束后得到的 \((x, u)\) 符合要求。由于循环每执行一次 \(x\) 的长度都严格减少,因此这个循环必然在有限次后结束。显然每次执行循环时等式 \(w=xu\) 始终保持成立,且循环结束后得到的 \((x,u)\) 满足对任何 \(t\in T\)\(l(xt)>l(x)\) (如果 \(l(xt) < l(x)\) 那么循环还可以继续执行;而 \(l(xt)=l(x)\) 前面已经说明是不可能的),所以只剩下验证 \(l(w)=l(x)+l_T(u)\) 始终成立即可。初始时 \(l(w)=l(w) + l_T(1)\) 是成立的,假设某轮循环执行前 \(l(w)=l(x)+l_T(u)\) 成立,我们要说明执行后 \(l(w)= l(xt) + l_T(tu)\) 也成立。

注意不等式 \[{\color{red} l(x)+l_T(u)}=l(w)=l(xt\cdot tu)\leq l(xt)+l(tu)\leq {\color{red} l(xt) + l_T(tu)}<l(x)+l_T(tu),\] 其中最后一个不等号是已知的 \(l(xt)<l(x)\),倒数第二个不等号是因为对任何 \(u\in W_T\) 总是有 \(l_T(u)\geq l(u)\) 成立。现在:

  1. 比较上面不等式左右两头得到 \(l_T(u) < l_T(tu)\),那必须是 \(l_T(u)=l_T(tu)-1\)
  2. 比较标红的两项得到 \(l(x)\leq l(xt)+1\),结合 \(l(x)>l(xt)\) 得到 \(l(x)=l(xt)+1\)
  3. 结合 1, 2 得到 \(l(x)+l_T(u)=l(xt)+l_T(tu)\),引理得证。

:从引理结论不难得出对任何 \(u\in W_T\)\(l_T(u)=l(u)\) 成立:取 \(w=u\),则 \(x\in W_T\),从而 \(x\) 必须是 1,从而 \(l(u)=l_T(u)\),即 \(W_T\) 中的元素表示为 \(t\in T\) 中元素乘积的最短长度,与其作为 \(W\) 中的元素表示为 \(s\in S\) 中元素的最短长度是相同的。这不是个显然的事情,因为 \(T\) 中的生成元与 \(S\backslash T\) 中的生成元之间存在 Coxeter 矩阵给出的辫关系,这有可能导致当 \(u=t_{i_1}t_{i_2}\cdots t_{i_k}\) 时,虽然作为 \(T\) 上的乘积它不能进一步被缩短,但作为 \(S\) 上的乘积却可以进一步缩短。

:这个引理的含义是,对于任何 \(w\in W\),我们一定可以在其所在的左陪集 \(wW_T\) 中取一个长度最短的陪集代表元 \(x\),使得当 \(w\) 分解为 \(w=xu,u\in W_T\) 时,这个分解还保持长度的加法:\(l(w)=l(x)+l(u)\)

定理 1 的证明

我们先证明充分性:若 \(l(ws)>l(w)\)\(w\alpha_s\in\Phi^+\)

\(w\) 的长度 \(l(w)\) 归纳:\(l(w)=0\)\(w=1\),结论显然成立,下面设结论对 \(W\) 中所有长度小于 \(l(w)\) 的元素成立。

我们总是可以取 \(t\ne s\) 使得 \(l(wt)<l(w)\),比如 \(t\) 取为 \(w\) 的某个既约表达式的最后一项。令 \(T=\{s,t\}\)\(w=xu\) 是如上面引理中的分解,我们来分别考察 \(x\)\(u\) 是怎样作用在 \(\{\alpha_s,\alpha_t\}\) 上的。

\(x\) 的分析比较容易:注意由于 \(l(xt) > l(x)\) 所以 \(x\ne w\),从而 \(l(x)<l(w)\)。由归纳假设 \(x\alpha_s\in\Phi^+\)\(x\alpha_t\in\Phi^+\)

如果我们能够证明 \(u\alpha_s\) 可以表示为 \(\alpha_s\)\(\alpha_t\) 的非负线性组合:\(u\alpha_s = p\alpha_s + q\alpha_t\),其中 \(p,q\geq0\) 且不全为 0,则 \[w\alpha_s=xu\alpha_s=x(p\alpha_s + q\alpha_t)=px\alpha_s + qx\alpha_t\in\Phi^+.\] 这就证明了结论。

于是问题归结为分析在二面体群 \(W_T\) 中一个元素 \(u\in W_T\)\(\alpha_s\) 上的作用。这里要考虑 \(m_{s,t}=\infty\)\(m_{s,t}<\infty\) 两种情形。

首先二面体群 \(W_T\) 的结构是很清楚的:

  1. \(m_{s,t}=\infty\)\(W_T\) 是无限二面体群,其元素为所有 \(s\)\(t\) 交替出现的字符串,每个这样的字符串都是既约的。

  2. \(m_{s,t}=m<\infty\)\(W_T\) 是二面体群 \(D_m\),其 \(2m\) 个元素罗列如下,每个字符串也都是既约的:\[1,\ s,\ t,\ st,\ ts,\ sts,\ tst,\ \cdots,\ \overbrace{sts\cdots}^{m}=\overbrace{tst\cdots}^{m}.\]

我们断言这两种情形下 \(u\) 作为 \(W_T\) 中的元素其任何既约表示不能以 \(s\) 结尾,否则 \(l_T(us)=l_T(u)-1\),从而 \[\begin{align*}l(ws)&=l(xus)\\ &\leq l(x) + l(us)\\ &\leq l(x)+l_T(us)\\ &=l(x)+l_T(u)-1\\ &= l(w)-1. \end{align*}\] 这与 \(l(ws) > l(w)\) 矛盾!

于是只要再分析 \(u=\ast\cdots\ast t\) 作用在 \(\alpha_s\) 上的结果,而这在前文中已经计算过了:

\(m_{s,t}=\infty\) 的情形

  1. \(a_{s,t} = -2\) 时: \[\alpha_s\xrightarrow{\ t\ }\alpha_s+2\alpha_t\xrightarrow{\ s\ }3\alpha_s+2\alpha_t\xrightarrow{\ t\ }3\alpha_s + 4\alpha_t\xrightarrow{\ s\ }\cdots\] 每一项都是 \(\alpha_s,\alpha_t\) 的非负线性组合。
  2. \(a_{s,t} < -2\) 时: \[\alpha_s\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sinh \theta}{\sinh\theta}\alpha_s+\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sinh 3\theta}{\sinh\theta}\alpha_s+\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] 其中 \(\theta>0\),每一项仍然都是 \(\alpha_s,\alpha_t\) 的非负线性组合。

\(m_{s,t}=m\geq2\in\mathbb{Z}\) 的情形

\[\alpha_s\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sin \theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\alpha_s+\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha_t\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] 其中 \(\theta=\pi/m\)。这个链的第 \(k\) 项形如 \[\begin{cases} \dfrac{\sin k\theta}{\sin\theta}\alpha_s + \dfrac{\sin (k-1)\theta}{\sin\theta}\alpha_t & \text{$k$ odd},\\ \newline \dfrac{\sin (k-1)\theta}{\sin\theta}\alpha_s + \dfrac{\sin k\theta}{\sin\theta}\alpha_t & \text{$k$ even}. \end{cases}\] 并不是每一项都是 \(\alpha_s,\alpha_t\) 的非负线性组合,但是前 \(m\)\(k=1,2,\ldots,m\) 都是,这就足够了:由于 \(u\) 的任何既约表示不能以 \(s\) 结尾,所以 \(u\) 可能的取值为 \[1,\ t,\ st,\ \ldots,\ \overbrace{\ast\cdots\ast t}^{\leq m-1},\] 正好是序列的前 \(m\) 项。为什么 \(u\) 的长度不能等于 \(m\)?因为这样的话根据辫关系会等于以 \(s\) 结尾的另一个既约表示。超过 \(m\)?那就不是既约表示了。

必要性的证明:

我们要证明若 \(w\alpha_s\in\Phi^+\)\(l(ws)>l(w)\)。若不然,则 \(l(w)=l(wss)>l(ws)\),从而由充分性的证明知道 \(ws\alpha_s\in\Phi^+\),即 \(w\alpha_s\in\Phi^-\),矛盾!

至此定理得证。\(\blacksquare\)

关键定理的几何解释

上面的关键定理也是有明确的几何意义的,也不难理解。

我们知道基本区域 \(\mathcal{D}\) 这个房间是所有 \(\{\alpha_s > 0\mid s\in S\}\) 的交,这个房间有 \(|S|\) 个不同的墙壁,其中“墙壁 \(s\)”位于超平面 \(\{\alpha_s=0\}\) 上。

对任何 \(w\in W\),虚像房间 \(w\mathcal{D}\) 的墙壁和 \(\mathcal{D}\) 是一一对应的,只不过在空间中的位置发生了变化。对任何 \(s\in S\)\(w\mathcal{D}\) 的标号为 \(s\) 的房间位于超平面 \(\{w\alpha_s=0\}\) 上。

对任何 \(w\in W\),设 \(w=s_{i_1}s_{i_2}\cdots s_{i_k}\) 是一个既约表示,\(l(w)=k\),则我们有 \(k+1\) 个连续的房间 \[\mathcal{D},\ s_{i_1}\mathcal{D},\ s_{i_1}s_{i_2}\mathcal{D},\ \ldots,\ s_{i_1}s_{i_2}\cdots s_{i_k}\mathcal{D}.\] 你可以从 \(\mathcal{D}\) 出发,依次从左到右,先穿过 \(\mathcal{D}\) 的墙壁 \(s_{i_1}\),再穿过 \(s_{i_1}\mathcal{D}\) 的墙壁 \(s_{i_2}\),再穿过 \(s_{i_1}s_{i_2}\mathcal{D}\) 的墙壁 \(s_{i_2}\),一直下去到达 \(w\mathcal{D}\)。这个过程总共穿过了 \(l(w)=k\) 面墙壁,而且这是最短的路线,长度为 \(k\) (等于穿过的墙壁个数)。

这里有点反直觉的一点是,虽然 \(w\mathcal{D}=s_{i_1}s_{i_2}\cdots s_{i_k}\mathcal{D}\) 是首先将反射 \(s_{i_k}\) 作用在 \(\mathcal{D}\) 上,再将反射 \(s_{i_{k-1}}\) 作用在 \(s_{i_k}\mathcal{D}\) 上,...,最后将 \(s_{i_1}\) 作用这样得到的,但是在几何上墙壁从近到远的排列顺序和反射作用从先到后的顺序是反过来的:墙壁 \(s_{i_k}\) 在路线的最末端,次远的是 \(s_{i_{k-1}}\),...,最近的反而是 \(s_{i_1}\)。为了验证这一点,只要记住 \(\mathcal{D}\)\(s\mathcal{D}\) 是两个被墙壁 \(s\) 隔开的相邻房间,在任何 \(w\in W\) 作用下 \(w\mathcal{D}\)\(ws\mathcal{D}\) 仍然是相邻的,并且它们之间的墙壁编号仍然是 \(s\)

现在对一个房间 \(w\mathcal{D}\),如果我们穿过它的标号为 \(s\) 的墙壁到达相邻的房间 \(ws\mathcal{D}\),那么 \(w\mathcal{D}\)\(ws\mathcal{D}\) 谁距离 \(\mathcal{D}\) 更远?这取决于 \(l(w)\)\(l(ws)\) 的大小。如果 \(l(ws)<l(w)\) 则我们可以断定存在另一条从 \(\mathcal{D}\) 出发到达 \(ws\mathcal{D}\) 的路径,比当前这条长度更短,而且恰好减少 1。反之如果 \(l(ws)>l(w)\) 则我们当前这条路径就是最短的 (虽然未必是唯一最短的)。

怎么判断哪一种情形发生呢?可以直观上理解:如果“穿过 \(\mathcal{D}\) 的标号为 \(s\) 的墙壁”这一步是背着 \(\mathcal{D}\) 的方向走出去的,那么应该距离 \(\mathcal{D}\) 更远,所以应该有 \(l(ws)>l(w)\)。反之如果是朝着 \(\mathcal{D}\) 的方向走出去的,那么应该距离 \(\mathcal{D}\) 更近,所以应该有 \(l(ws)<l(w)\)。这里“朝着/背着”的区别在于,如果 \(w\mathcal{D}\)\(\mathcal{D}\) 位于墙壁的同一侧,那么穿过墙壁以后新的位置 \(ws\mathcal{D}\)\(\mathcal{D}\) 位于墙壁两侧,这就更远了。反之如果 \(w\mathcal{D}\)\(\mathcal{D}\) 位于墙壁的异侧,穿过墙壁以后 \(ws\mathcal{D}\)\(\mathcal{D}\) 位于墙壁同一侧,这就更近了。而 \(w\mathcal{D}\) 的标号为 \(s\) 的墙壁位于超平面 \(\{w\alpha_s=0\}\) 上,\(w\mathcal{D}\) 位于 \(w\alpha_s\) 的正半空间:\(\langle w\alpha_s,\,w\mathcal{D}\rangle=\langle \alpha_s,\,\mathcal{D}\rangle>0\)。所以同侧要求 \(\mathcal{D}\) 也位于 \(w\alpha_s\) 的正半空间,即 \(\langle w\alpha_s,\,\mathcal{D}\rangle>0\),这只有在 \(w\alpha_s\) 是正根时才可以。同理异侧的情形对应 \(w\alpha_s\) 是负根。这就是关键定理的几何解释。

一大波推论

推论 1:如果 \(w\in W\) 满足对任何 \(v\in V\)\(wv=v\),则 \(w=1\)。换言之,表示 \(\rho: W\to{\rm GL}(V)\) 是忠实的。从而我们可以把 \(W\)\(\rho(W)\) 等同起来。

这是因为如果 \(w\ne 1\) 的话,就可以取 \(s\in S\) 使得 \(l(ws) < l(w)\),于是 \(w\alpha_s\in\Phi^-\),从而 \(\langle w\alpha_s,\,\mathcal{D}\rangle<0\)。但 \[\langle w\alpha_s,\,\mathcal{D}\rangle=\langle \alpha_s,\,w^{-1}\mathcal{D}\rangle=\langle \alpha_s,\,\mathcal{D}\rangle>0,\] 矛盾!

推论 2:每个根不是正根就是负根,即 \(\Phi=\Phi^+\cup\Phi^-\)

这是因为任何根 \(\lambda\in\Phi\) 可以表示为 \(\lambda=w\alpha_s\),其中 \(w\in W, \alpha_s\in\Delta\)。若 \(l(ws)>l(w)\)\(\lambda=w\alpha_s\in\Phi^+\),否则 \(l(ws)<l(w)\)\(\lambda=w\alpha_s\in\Phi^-\)

推论 3:任何单反射 \(s\) 置换 \(\Phi^+\backslash\{\alpha_s\}\) 中的正根,同时将 \(\alpha_s\) 变为 \(-\alpha_s\)

这是因为对任何正根 \(\lambda\ne\alpha_s\in\Phi^+\),由于 \(\lambda\ne\alpha_s\),所以在线性组合 \(\lambda=\sum_{s\in S}c_s\alpha_s\) 中至少还有一个 \(s'\ne s\) 使得 \(c_{s'}>0\),于是 \(s\lambda=\lambda-\langle \lambda,\,\alpha_s^\vee\rangle\alpha_s\)\(s'\) 分量仍然为正,从而根据推论 2 \(s\lambda\) 必须仍然是正根。

推论 4:对 \(w\in W\),定义 \(N(w)\) 为在 \(w\) 作用下被变为负根的那些正根组成的集合:\(N(w)=\{\lambda\in\Phi^+\mid w\lambda\in\Phi^-\}\),则 \(|N(w)|=l(w)\)

证明:我们已经知道 \(l(w)\) 满足如下的递推关系:

\[l(ws) =\begin{cases} l(w)+1,& w\alpha_s\in\Phi^+,\\ l(w)-1,& w\alpha_s\in\Phi^-. \end{cases}\]

只需要证明 \(|N(w)|\) 也满足同样的递推关系即可: \[|N(ws)| =\begin{cases}|N(w)|+1,& w\alpha_s\in\Phi^+,\\ |N(w)|-1,& w\alpha_s\in\Phi^-.\end{cases}\]

\(\lambda\in\Phi^+\) 并观察恒等式 \((ws)\lambda\in\Phi^- \Leftrightarrow w(s\lambda)\in\Phi^-\)。如果我们想由此得出 \(\lambda\in N(ws)\Leftrightarrow s\lambda\in N(w)\) 的话,就必须先保证 \(\lambda\)\(s\lambda\) 均为正根,根据推论 3 这当且仅当 \(\lambda\ne\alpha_s\) 时才可以。而当 \(\lambda=\alpha_s\) 时,\(\lambda\) 恰好属于 \(N(ws)\)\(N(w)\) 其中之一,具体属于哪个由 \(l(ws)\)\(l(w)\) 的大小关系决定。 当 \(l(ws)<l(w)\) 时,\(\alpha_s\in N(w)\),这对应递推关系中的 2;当 \(l(ws) > l(w)\) 时,\(\alpha_s\in N(ws)\),这对应递推关系中的 1,推论得证。

推论 5:若 \(w\in W\) 把正根仍然映射为正根,即 \(w(\Phi^+)=\Phi^+\),则 \(w=1\)

这个比较显然。

推论 6\(|W|<\infty\) 当且仅当 \(|\Phi|<\infty\)

如果 \(W\) 是有限群,由于 \(\Phi=W\cdot \Delta\)\(|\Phi|\leq |W|\cdot |\Delta|\) 也是有限的。

反之若 \(|\Phi|<\infty\),则由推论 5 知道 \(W\) 可以嵌入到置换群 \(S_{|\Phi|}\) 中,从而也是有限的。

推论 7:若 \(W\) 是一个有限群,则存在唯一的元素 \(w\)\(w\)\(W\) 中长度最大者,它交换 \(\Phi^+\)\(\Phi^-\)\(w(\Phi^+)=\Phi^-\),且 \(w\) 是一个对合:\(w^2=1\)

证明:由于 \(W\) 有限,所以可以取一个长度最大的元素 \(w\),显然对任何 \(s\in S\)\(l(ws)<l(w)\),从而 \(w\alpha_s\in\Phi^-\),从而 \(w\) 把单根系 \(\Delta\) 都变为负根,自然也就把 \(\Phi^+\) 变为 \(\Phi^-\)

由于 \(w^2\) 保持 \(\Phi^+\) 不变,所以由推论 5 必须 \(w^2=1\),因此 \(w\) 是一个对合。

如果还存在别的最长元素 \(w'\ne w\) 呢?那么 \(w'\) 也满足 \(w'(\Phi^+)=\Phi^-\),从而 \(w^{-1}w'\) 保持 \(\Phi^+\) 不变,即 \(w^{-1}w'=1, w=w'\)

Tits 锥

在获得了 \(V^\ast\) 中关于根系的一些知识后,我们回到空间 \(V\) 中讨论万花筒的结构。前面已经定义了基本区域 \(\mathcal{D}\) 为所有正半空间 \(\{\alpha_s>0\mid \alpha_s\in\Delta\}\) 的交,我们还没有回答的一个问题是:\(\mathcal{D}\) 和它的所有虚像真的互不重合吗?

答案是肯定的:

性质:对任何 \(w\ne1\in W\) 都有 \(w\mathcal{D}\cap\mathcal{D}=\emptyset\)

用反证法,如果 \(x\in w\mathcal{D}\cap\mathcal{D}\),则 \(y=w^{-1}x\in \mathcal{D}\cap w^{-1}\mathcal{D}\)

\(s\in S\) 使得 \(l(ws)<l(w)\),从而 \(w\alpha_s\in\Phi^-\)\(\langle w\alpha_s,\,\mathcal{D}\rangle=\langle \alpha_s,\,w^{-1}\mathcal{D}\rangle<0\)。于是 \(\langle \alpha_s,\,y\rangle<0\),这与 \(y\in\mathcal{D}\) 矛盾!

于是原像 \(\mathcal{D}\) 确实与它的任何虚像 \(w\mathcal{D},w\ne1\) 互不重合。我们给房间 \(\mathcal{D}\) 加上四周的墙壁得到 \(\overline{\mathcal{D}}\),于是 \(\overline{\mathcal{D}}\) 是一个锥,并定义 Tits 锥\[\mathcal{C}= \bigcup_{w\in W} w\overline{\mathcal{D}}.\] Tits 锥 \(\mathcal{C}\) 即为我们的万花筒结构。

有两件值得注意的事情:

  1. 一般来说 Tits 锥并不等于全空间 \(V\),这一点在前一篇文章中已经看到了,只有在 \(W\) 是有限群的情形才有 \(\mathcal{C}=V\) 成立,在仿射的情形 \(\mathcal{C}\) 是个半空间加上原点,而在双曲的情形 \(\mathcal{C}\) 是个严格的尖锥。
  2. 我们使用了 Tits “锥” 这个称呼,但 \(\mathcal{C}\) 真的构成一个锥吗?这可不显然。虽然 \(\overline{\mathcal{D}}\) 是锥,但所有 \(w\overline{\mathcal{D}}\) 的并是不是仍然是一个锥还是个需要证明的事情。

定义 \(\mathrm{PLC}(\Delta)\) 为单根系 \(\Delta\) 的所有非负系数线性组合: \[\mathrm{PLC}(\Delta) = \left\{\sum_{s\in S}c_s\alpha_s,c_s\geq0\right\}.\] 显然 \(\mathrm{PLC}(\Delta)\)\(V^\ast\) 中的一个锥。我们知道基本区域的闭包 \(\overline{\mathcal{D}}\) 是一个锥,实际上它是 \(\mathrm{PLC}(\Delta)\)\(V\) 中的对偶锥: \[\overline{\mathcal{D}}= \{v\in V\mid \langle \lambda,\,v\rangle\geq0,\ \forall \lambda\in\mathrm{PLC}(\Delta)\}.\] 对任何 \(v\in V\),定义 \[\mathrm{Neg}(v)= \{\lambda\in \Phi^+\mid \langle \lambda,\,v\rangle<0\}.\] 注意 \(\mathrm{Neg}(v)\) 是正根 \(\Phi^+\) 的一个子集,并且可能是有限的或者无限的。

引理\(\overline{\mathcal{D}}=\{v\in V\mid \mathrm{Neg}(v)=\emptyset\}\)

这个引理是如此一目了然,因此我略过它的证明。

Tits 锥是凸锥

要证明 Tits 锥确实是锥,我们需要它的另一种等价刻画。本小节就来处理这个问题。

定理 2:对任何 \(v\in\overline{\mathcal{D}}\),记 \(J=\{s\in S \mid \langle \alpha_s,\,v\rangle=0\}\),则 \[\{w\in W\mid wv=v\} = W_J = \{w\in W\mid wv\in\overline{\mathcal{D}}\}.\]

:这个定理有非常明确的几何直观:对闭房间 \(\overline{\mathcal{D}}\) 中的一点 \(v\)\(v\)\(W\) 中的稳定化子群 \(\mathrm{Stab}(v)\) 是个标准椭圆子群,其生成元由那些包含 \(v\) 的墙面 \(\{\alpha_s\mid \langle \alpha_s,\,v\rangle=0\}\) 对应的反射组成。如果 \(v\) 落在 \(\mathcal{D}\) 中,那么 \(\mathrm{Stab}(v)\) 是平凡的;如果 \(v\) 恰好落在某个墙壁 \(s\) 上,则 \(\mathrm{Stab}(v)=\{1,s\}\);如果 \(v\) 恰好落在两个墙壁的交线上,\(\mathrm{Stab}(v)\) 就是这两个墙壁给出的二面体群;如果 \(v\) 恰好落在三个墙壁的墙角处,\(\mathrm{Stab}(v)\) 就是这三个墙壁给出的 rank 3 的 Coxeter 群,更高维以此类推。

定理 2 的证明

对任何 \(s\in J\) 我们有 \(s\cdot v= v-\langle \alpha_s,\,v\rangle\alpha_s^\vee = v\),即 \(sv = v\) 对任何 \(s\in J\) 成立,自然也就对全体 \(W_J\) 成立,从而 \(W_J\subseteq\{w\in W \mid wv=v\}\)

另一方面显然有 \(\{w\in W\mid wv=v\}\subseteq \{w\in W\mid wv\in\overline{\mathcal{D}}\}\) 成立,所以只要再证明 \(\{w\in W\mid wv\in\overline{\mathcal{D}}\}\subseteq W_J\) 即可。

从直观上看,设 \(v,v'\in\overline{\mathcal{D}}\)\(wv=v'\),则 \(w\overline{\mathcal{D}}\cap \overline{\mathcal{D}}=v'\)。我们知道对任何 \(w\ne1\)\(w\mathcal{D}\cap \mathcal{D}=\emptyset\),所以 \(v\)\(v'\) 肯定都属于 \(\overline{\mathcal{D}}-\mathcal{D}\),即房间的墙壁或者墙壁的交线上。而且 \(w\) 应该由那些包含 \(v\) 的墙壁给出的反射组成,即 \(J\) 中的墙壁。我们只要从 \(w\) 最末一个元素开始逐个验证它们属于 \(J\) 即可。

\(w\) 的某个既约表示的结尾是 \(s\)\(w=w's\),则 \(l(ws)<l(w)\),于是 \(w\alpha_s\in\Phi^-\),从而 \(\langle w\alpha_s,\,v'\rangle\leq0\)。然而 \(\langle w\alpha_s,\,v'\rangle\) 还等于 \(\langle \alpha_s,\,w^{-1}v'\rangle=\langle \alpha_s,\,v\rangle\geq0\),所以只能是 \(\langle \alpha_s,\,v\rangle=0\),即 \(s\in J\),从而 \(sv=v\)。于是 \(w'v = w'sv=v'\in\overline{\mathcal{D}}\),从而我们可以对 \(w'\) 继续重复此论证,得到 \(w\) 的乘积中所有因子都属于 \(J\),从而定理得证。\(\blacksquare\)

推论 8:Tits 锥 \(\mathcal{C} = \{v\in V \mid |\mathrm{Neg}(v)| < \infty\}\)

:这个推论的几何意义也比较显然:\(v\) 位于 \(\mathrm{Neg}(v)\) 中所有镜子的背面 (一个镜子的正面是指 \(\overline{\mathcal{D}}\) 所在的那一面),\(|\mathrm{Neg}(v)|<\infty\) 是说 \(v\) 落在有限多个镜子的背面。推论告诉我们 Tits 锥就是那些与 \(\overline{\mathcal{D}}\) 只隔着有限多个镜子的那些点。

推论的证明

\(\Rightarrow\): 设 \(x\in\mathcal{C}\),则 \(x\) 可以表示为 \(x=wv\),其中 \(w\in W,v\in\overline{\mathcal{D}}\)。设 \(\lambda\in\Phi^+\),则 \[\langle x,\,\lambda\rangle < 0\Rightarrow \langle wv,\,\lambda\rangle<0\Rightarrow \langle v,\,w^{-1}\lambda\rangle< 0\Rightarrow w^{-1}\lambda\in\Phi^-.\] 所以 \(\mathrm{Neg}(v)\subseteq N(w^{-1})\),从而 \(|\mathrm{Neg}(v)|\leq |N(w^{-1})|=l(w^{-1})=l(w)<\infty\)

\(\Leftarrow\): 反之若 \(|\mathrm{Neg}(x)|<\infty\),我们来论证可以选择 \(w\in W,v\in\overline{\mathcal{D}}\) 来使得 \(x=wv\)

这里的想法是,我们每次可以任意选择一个单反射 \(s\in S\) 对应的镜面 \(\alpha_s=0\),使得 \(x\) 落在这个镜子的背面,然后将 \(x\) 关于 \(\alpha_s\) 反射过去,将它变到 \(\alpha_s\) 的正面。对任何不等于 \(\alpha_s\) 的正根,\(\langle \lambda,\,x\rangle<0\) 等价于 \(\langle s\lambda,\,x\rangle<0\),所以 \(\mathrm{Neg}(x)\) 中除去 \(\alpha_s\) 的部分在反射后保持不变 (被置换了),所以这个操作会将遮挡在 \(x\)\(\overline{\mathcal{D}}\) 之间的镜子个数严格减少 1,如此这般直到 \(x\) 落入 \(\overline{\mathcal{D}}\) 为止。

严格的论证如下:

\(\mathrm{Neg}(x)=\emptyset\) 这显然成立,因为这时 \(x\) 本身就落在 \(\overline{\mathcal{D}}\) 中。当 \(\mathrm{Neg}(x)\) 不为空集时,其中一定包含一个单根 \(\alpha_s\in\Delta\),于是 \(\langle \alpha_s,\,x\rangle< 0\)。我们来分析集合 \(\mathrm{Neg}(sx)\)。对 \(\lambda\in\Phi^+\)\[\lambda\in\mathrm{Neg}(sx)\Leftrightarrow\langle sx,\,\lambda\rangle<0\Leftrightarrow\langle x,\,s\lambda\rangle<0.\] 如果 \(\lambda\ne\alpha_s\),则 \(s\lambda\) 仍然是正根,从而 \[\lambda\in\mathrm{Neg}(sx)\Leftrightarrow s\lambda\in\mathrm{Neg}(x).\] 如果 \(\lambda=\alpha_s\),则已知 \(\alpha_s\in\mathrm{Neg}(x)\),所以 \[\langle x,\,s\lambda\rangle=\langle x,\,s\alpha_s\rangle=-\langle x,\,\alpha_s\rangle>0.\] 从而 \(\alpha_s\not\in\mathrm{Neg}(sx)\)。于是我们证明了 \(\mathrm{Neg}(sx) = s\cdot\mathrm{Neg}(x)-\{\alpha_s\}\),即 \(\mathrm{Neg}(sx)\) 元素个数比 \(\mathrm{Neg}(x)\) 严格减少 1。重复此过程我们最终可以取一组 \(s_{i_1},\ldots,s_{i_k}\) 使得 \(y=s_{i_1}\cdots s_{i_k}x=wx\) 满足 \(\mathrm{Neg}(y)=\emptyset\),从而 \(y\in\overline{\mathcal{D}}\),这就证明了结论。

推论 9:Tits 锥 \(\mathcal{C}\) 是凸锥。

证明\(\mathcal{C}\) 是锥这一点由 推论 8 直接可得,是凸集这一点也可以从推论 8 得出,但是需要稍微论证下:对任何 \(x, y\in\mathcal{C}\),我们要证明当 \(\alpha,\beta\geq0\) 时有 \(z=\alpha x+\beta y\in\mathcal{C}\)。但是 \(\mathrm{Neg}(z)\subseteq\mathrm{Neg}(x)\cup\mathrm{Neg}(y)\),根据推论 8 \(\mathrm{Neg}(x),\,\mathrm{Neg}(y)\) 都是有限集,所以 \(\mathrm{Neg}(z)\) 有限,从而 \(z\in\mathcal{C}\),即 \(\mathcal{C}\) 是凸锥。

推论 8 在编程中的应用

推论 8 给出了 Tits 锥的等价刻画,它不仅结论重要,证明过程也是非常有用的,是所谓 Wythoff 构造法绘制万花筒结构的理论基础,被广泛应用在 shader 渲染中。为了证明此言非虚,你可以前往 shadertoy 上尝试用关键词 Wythoff, hyperbolic, polyhedra 搜索看看。

在 shader 中绘制万花筒的步骤如下:对空间中的每个点 \(p\),我们尝试使用 \(\Delta\) 中的镜面将其反复反射落入基本区域 \(\overline{\mathcal{D}}\) 内,得到对应的原像点 \(q\in\overline{\mathcal{D}}\)。然后根据 \(q\)\(\overline{\mathcal{D}}\) 中的位置来绘制 \(p\) 点对应的像素。这个反射的步骤用伪代码来写非常简单:(用 Python 演示)

1
2
3
4
for step in range(30):
for alpha_s in Delta:
if on_negative_side(p, alpha_s):
p = reflect(p, alpha_s)

我们重复了 30 次这样的操作 (30 次在绝大多数渲染场景中足够用了):每次都依次检查 \(p\) 是否落在某个 \(\alpha_s\) 的背面,如果答案为“是”,就将其反射至 \(\alpha_s\) 的正面。这个方法可以保证将任何满足 \(l(w)\leq30\) 对应的 \(w\overline{\mathcal{D}}\) 中的点映射入 \(\overline{\mathcal{D}}\)

Tits 锥的内部

\(\mathcal{C}^{\circ}\) 为 Tits 锥的内部,我们有如下定理:

定理 3\(x\in\mathcal{C}^\circ\) 当且仅当 \(x\)\(W\) 中的稳定化子群是有限群。

:这个定理的几何意义最好对照上一篇文章中的插图,仔细体会有限、仿射、双曲三种情形 Tits 锥的边界分别是什么?它们的稳定化子群分别是什么?

这里给一个 rank 3 的例子:

这是一个双曲 Coxeter 群,Tits 锥的内部是整个双曲空间 (单位圆的内部),Tits 锥的边界是单位圆周,所以 Tits 锥整体由闭的单位圆盘组成。图中基本区域可以是任何一个三角形,每个三角形都有一个位于边界上的顶点,这个顶点是两个平行镜面在无穷远边界上的交点,其稳定化子群是一个 \(\infty\) 标记的 rank 2 的仿射 Coxeter 群,所以它不属于 Tits 锥的内部。

这个定理不太好证明,我们首先处理 \(x\in\overline{\mathcal{D}}\) 的情形。

引理:设 \(x\in\overline{\mathcal{D}}\),记 \(J=\{s\in S\mid\langle \alpha_s,\,x\rangle=0\}\)。则 \(x\in\mathcal{C}^\circ\) 当且仅当 \(W_J\) 是有限群。

:引理的几何意义是:如果 \(x\)\(\mathcal{C}\) 的内点,并且经过 \(x\) 的镜面有无穷多个,那么可以在 \(x\) 的附近取一点 \(z\),使得这无穷多个镜子都挡在基本区域和 \(z\) 之间,从而 \(\mathrm{Neg}(z)\) 是无限集,从而 \(z\notin\mathcal{C}\),导致矛盾。

引理的证明:

\(\Rightarrow\):取 \(y\in\mathcal{D}\)。由于 \(x\in\mathcal{C}^\circ\),所以在线段 \(\overline{[x, y]}\) 上我们可以向着 \(x\) 方向延伸一点点得到 \(z\),使得 \(z\) 仍然位于 \(\mathcal{C}^\circ\) 中。\(z\) 可以表示为 \(z=(1-t)x+ty,\,t<0\),于是 \(\langle \alpha_s,\,z\rangle=t\langle \alpha_s,\,y\rangle < 0\) 对所有 \(s\in J\) 成立。如果 \(W_J\) 是无限群那么 \(J\) 对应的根系 \(\Phi_J=W_J\cdot\{\alpha_s\mid s\in J\}\) 也是无限的,从而 \(\mathrm{Neg}(z)\supseteq \Phi^+_J\) 是无限集,从而 \(z\notin\mathcal{C}^\circ\),矛盾!

反之若 \(W_J\) 是有限群,记 \[\delta = \min\left\{\frac{\langle \alpha_s,\,x\rangle}{\langle \alpha_s,\,wy\rangle}\,\middle|\, \alpha_s\in S\backslash J, w\in W_J\right\}.\] 可以看出 \(\delta\) 是一个正数:分子都大于 0 是因为 \(x\in\overline{\mathcal{D}}\)\(\alpha_s\) 都来自 \(S\backslash J\),对这些 \(\alpha_s\)\(\langle \alpha_s,\,x\rangle\ne0\)。分母都大于 0 是因为 \(\langle \alpha_s,\,wy\rangle=\langle w^{-1}\alpha_s,\,y\rangle\),而 \(w^{-1}\in W_J\), \(s\in S\backslash J\) 意味着 \(l(w^{-1}s)>l(w^{-1})\),从而 \(w^{-1}\alpha_s\) 仍然是正根,从而 \(\langle w^{-1}\alpha_s,\,y\rangle>0\)

将上面的分母乘到左边然后求和,我们有 \[\delta\cdot\langle \alpha_s,\,\sum_{w\in W_J}wy\rangle\leq \langle \alpha_s,\,x\rangle\cdot |W_J| < 2\langle \alpha_s,\,x\rangle\cdot |W_J|.\]

进一步由于 \(\sum_{w\in W_J}wy\) 在所有 \(W_J\) 下保持不变,所以对任何 \(s'\in J\) 必然有 \(\langle \alpha_{s'},\,\sum_{w\in W_J}wy\rangle=0\),所以上面的不等式将 \(\alpha_s\) 换成任何 \(\lambda\in\Phi^+\backslash\Phi_J^+\) 依然成立,因为这时 \(\lambda\) 作为 \(\Delta\) 的非负线性组合必然至少有来自 \(S\backslash J\) 的一项系数大于 0。

于是对任何 \(\lambda\in\Phi^+\backslash\Phi_J^+\)\[\delta\cdot\langle \lambda,\,\sum_{w\in W_J}wy\rangle< 2\langle \lambda,\,x\rangle\cdot |W_J|.\] 左边只取 \(w=1\) 的一项,其余全扔掉,则 \[\delta\cdot\langle \lambda,\,y\rangle< 2\langle \lambda,\,x\rangle\cdot |W_J|.\]\(z = 2|W_J|x - \delta y\),我们得到 \(\langle \lambda,\,z\rangle>0\) 对任何 \(\lambda\in\Phi^+\backslash\Phi_J^+\) 成立。另一方面 \(\langle \mu,\,z\rangle<0\) 对任何 \(\mu\in\Phi_J^+\) 成立,而 \(|\Phi_J|\) 有限,所以 \(\mathrm{Neg}(z)\) 是有限集,于是 \(z\in\mathcal{C}\),从而存在 \(w\in W, v\in\overline{\mathcal{D}}\) 使得 \(z=wv\)。这里的一个关键观察是 \(v\) 实际上属于 \(\overline{\mathcal{D}}^\circ=\mathcal{D}\)。这是因为对任何单根 \(s\)\(\langle \alpha_s,\,v\rangle=\langle \alpha_s,\,w^{-1}z\rangle=\langle w\alpha_s,\,z\rangle\),不管 \(w\alpha_s\) 是正根或者负根,它必然属于 \(\pm\Phi^+_J, \pm(\Phi^+\backslash\Phi^+_J)\) 之一,\(\langle w\alpha_s,\,z\rangle\) 都不会是 0,所以 \(v\) 实际上落在房间 \(\mathcal{D}\) 的内部,而不可能落在周围的墙壁上。于是 \(v\in\mathcal{C}^\circ\),从而 \(z=wv\in\mathcal{C}^\circ\),于是 \(x\) 作为 \(z\)\(y\) 的非负线性组合 \(x = \frac{1}{2|W_J|}(z + \delta y)\) 也属于 \(\mathcal{C}^\circ\),引理得证。

回到定理证明,一般的情形就好办了:对任何 \(x\in\mathcal{C}\),存在 \(w\in W,v\in\overline{\mathcal{D}}\) 使得 \(x=wv\)。稳定化子群 \(\mathrm{Stab}(x)\)\(\mathrm{Stab}(v)\) 是共轭的关系:\(\mathrm{Stab}(x)=w\mathrm{Stab}(v)w^{-1}\),二者同为有限或者无限群,这对应二者是否同为 \(\mathcal{C}^\circ\) 的内点。

Tits 锥的对偶锥

这一节来讨论 Tits 锥的对偶锥。这部分内容会在后面介绍“双曲密铺和球堆”的时候用到。

之前已经提到了,\(\overline{\mathcal{D}}\)\(\mathrm{PLC}(\Delta)\)\(V\) 中的对偶锥。但是我们还没有严格介绍什么是对偶锥,所以要补上这一课,先介绍一些关于锥的预备知识。


一些关于锥的预备知识

注意:本段内容中的 \(V,V^\ast\) 等均代表一般的实数域上有限维向量空间及其对偶空间,结论也是针对这些一般空间的,请不要与本段之外内容中的 \(V,V^\ast\) 对号入座。

在本段中,我们设 \(C\)\(V\) 中的一个锥,定义 \(C\) 的对偶锥 \(C^\ast\in V^\ast\)\[C^\ast = \{f\in V^\ast\mid f(v)\geq0,\ \forall v\in C\}.\] \(C^\ast\) 是对偶空间中一些线性泛函组成的集合。

不难看出 \(C^\ast\) 也构成 \(V^\ast\) 中的一个锥,所以我们又可以取其对偶锥 \(C^{\ast\ast}\subset V\)

定理 4\(C^{\ast\ast} = \overline{C}\)。其中 \(\overline{C}\)\(C\) 的拓扑闭包。

证明:显然 \(\overline{C}\subseteq C^{\ast\ast}\),只要论证 \(C^{\ast\ast} \subseteq \overline{C}\) 即可。

这个论证可以很简单:对任何 \(x\notin\overline{C}\),根据凸集分离定理,存在超平面 \(H\),其法向量 \(n\) 满足 \((n,C)\geq 0\) 但是 \((n,x) < 0\)。于是线性泛函 \((n,\cdot)\in C^\ast\) 且由于 \((n,x)<0\) 从而 \(x\notin C^{\ast\ast}\)。反向包含得证。

对于不熟悉凸集分离定理的读者,下面是一点细节补充:

\(u\in\overline{C}\)\(\overline{C}\) 中与 \(x\) 距离最近的点:\(|x-u|=\inf_{z\in \overline{C}}|x-z|\)。对任何 \(z\in\overline{C}\),考虑线段 \([u,z]\) 上的点与 \(x\) 的距离 \[f(t) = |u + t(z-u) - x|,\quad 0\leq t\leq1.\]

\(f\)\(t=0\) 时取得最小值: \[ |u-x|^2 \leq |u-x|^2 + 2t(u-x, z-u) + t^2|z-u|^2.\]\[0\leq t\cdot\left(2(u-x,z-u) + t|z-u|^2\right)\leq 2(u-x,z-u) + t|z-u|^2.\]\(t\to0^+\) 可得 \((u-x,z-u)\geq 0\)。 这个式子对任何 \(z\in\overline{C}\) 成立,特别地取 \(z=tu\) 代入有 \[(1-t)\cdot(u-x, u)\geq0.\] 上式对任何 \(t\geq0\) 成立必须只能是 \((u-x, u)=0\)。于是不等式 \[(u-x,z-u)\geq 0\] 可以改写为 \[(u-x,z)\geq0\] 对任何 \(z\in\overline{C}\) 成立。而 \((u-x,x)=-(u-x,u-x)<0\)。所以 \(u-x\) 即为所求的分离超平面。


回到 Tits 锥的讨论上来。我们有如下定理:

定理 5:Tits 锥 \(\mathcal{C}\) 的对偶锥为 \(\mathcal{C}^\ast=\bigcap_{w\in W}w(\overline{\mathrm{PLC}(\Delta)})\)

证明: \[\begin{align} \mathcal{C}^\ast &=\{f\in V^\ast \mid \langle f,\,v\rangle\geq 0 \text{ for all } v \in \mathcal{C}\}\\ &= \{f\in V^\ast\mid \langle f,\,wv\rangle\geq0 \text{ for all } v\in\overline{\mathcal{D}}\text{ and } w \in W\}\\ &= \{f\in V^\ast\mid \langle w^{-1}f,\,v\rangle\geq0 \text{ for all } v\in\overline{\mathcal{D}}\text{ and } w \in W\}\\ &= \{f\in V^\ast\mid w^{-1}f\in (\overline{\mathcal{D}})^\ast \text{ for all } w \in W\}\\ &\stackrel{(\ast)}{=} \{f\in V^\ast\mid w^{-1}f\in \overline{\mathrm{PLC}(\Delta)} \text{ for all } w \in W\}\\ &= \{f\in V^\ast\mid f\in w(\overline{\mathrm{PLC}(\Delta)}) \text{ for all } w \in W\}. \end{align}\] 其中 \((\ast)\) 一步正是将上面对偶锥的结论应用在 \(C=\mathrm{PLC}(\Delta),\,C^\ast=\overline{\mathcal{D}}\) 上得到的。

参考文献

  1. Casselman 的一些文章。
  2. Introduction to Coxeter groups. Robert B. Howlett.
 | 

当前网速较慢或者你使用的浏览器不支持博客特定功能,请尝试刷新或换用Chrome、Firefox等现代浏览器