Coxeter 群基础知识 (一):反射

又新开了一个系列,这些年我的 TODO List 的 push 操作远多于 pop 操作,之前二维随机游动的系列还有好多有意思的想法没有动笔,希望这个系列不会太监。😄

这个系列的目的是整理下面两个项目涉及的理论知识:

这两个项目的主题都是双曲空间中的万花筒,背后的主要数学支撑是 Coxeter 群的理论。我统计了下,大概需要四次左右的篇幅来介绍它们:

  1. 两个反射生成的 Coxeter 群。
  2. 一般 Coxeter 群的几何实现。
  3. 双曲 Coxeter 群与圆堆。
  4. Coxeter 群的极小根与正则语言。

前两篇是预备知识,后面两篇分别对应两个项目。

本文是这个系列的第一篇,介绍两个反射生成的 Coxeter 群的结构,直白点就是两个反射镜面得到的万花筒的结构。这是最简单的、同时又是非平凡的 Coxeter 群的例子,理解它们对后面的学习至关重要。麻雀虽小,五脏俱全,许多对一般 Coxeter 群成立的重要性质在 rank=2 这个最简单的情形也可以看得非常清楚。不幸的是,这篇的文字读起来会很晦涩,劝退指数略高。这样处理是受到了 Casselman 的影响,他的讲义就是首先对两个反射的情形“挖地三尺”般进行讨论。我开始念的时候很不适应,心想反射变换那么简单,有什么好教的呢?就算两个反射放在一起又能复杂到哪去?后来才认识到,熟悉 rank=2 的 Coxeter 群的表示对后面的理解大有助益。特别是 \(n_{s,t}>4\) 的情形对应的是两个双曲空间中超平行的镜面,关于它们的镜面反射是两个球面的反演变换。所以如果只把对万花筒的认识停留在生活中见到的万花筒的样子的话,是难以领会许多定理的含义的。

在本文中,需要始终抓住的一条主线是同时注意发生在 \(V\)\(V^\ast\) 上的两个现象:

  1. \(V\) 上群在 Tits 锥上是如何作用的。
  2. \(V^\ast\) 上根系 \(\Phi\in V^\ast\) 的结构。

单个反射

我们先从反射变换的定义说起。在本文中,\(V\) 始终表示一个有限维实向量空间,\(V^\ast\) 是其对偶空间。

\(\alpha\in V^\ast\) 是一个线性泛函,对 \(v\in V\),我们用双线性对 \(\langle \,,\,\rangle\) 来表示 \(\alpha(v)=\langle \alpha,\,v\rangle\)。这种记号有个明显的好处是它关于两个分量都是线性的,而且由于 \(V\)\(V^\ast\) 互为对偶空间所以还是对称的,即 \(\alpha\)\(v\) 在括号中的顺序并不重要。

\(\alpha^\vee\in V\) 使得 \(\langle \alpha,\,\alpha^\vee\rangle=2\)\(V\) 上的线性变换 \[s(v) = v - \langle \alpha,\,v\rangle\alpha^\vee,\quad v\in V.\] 满足如下性质:

  1. \(s\) 保持 \(n-1\) 维的超平面 \(\alpha=0\) 不变;
  2. \(s\) 将一个非零向量 \(\alpha^\vee\) 映射为 \(-\alpha^\vee\)
  3. \(s^2=1\)。(这一点可以由 1, 2 推出)

我们称这样的线性变换是反射变换

为了方便,本文也用记号 \(s_{\alpha,\alpha^\vee}\) 来表示反射 \(s\)

对任何 \(g\in\mathrm{GL}(V)\),定义 \(g\)\(V^\ast\) 上的作用为 \[\langle gf,\,v\rangle = \langle f,\,g^{-1}v\rangle,\quad f\in V^\ast, v\in V.\] 这样定义的目的是让 \(g\) 保持 “内积” \(\langle \,,\,\rangle\) 不变: \[\langle gf,\,gv\rangle = \langle f,\,v\rangle.\]

于是 \(V\) 上的反射 \(s\) 也成为 \(V^\ast\) 上的反射 \[\langle sf,\,v\rangle = \langle f,\,sv\rangle = \langle f,\,v\rangle-\langle \alpha,\,v\rangle\langle f,\,\alpha^\vee\rangle=\langle f-\langle \alpha^\vee,\,f\rangle\alpha,\,v\rangle.\]\(s\)\(V^\ast\) 上的作用为 \[s(f)=f-\langle \alpha^\vee,\,f\rangle\alpha.\] 它保持 \(V^\ast\) 中的超平面 \(\langle \alpha^\vee,\,\cdot\rangle=0\) 不变,将泛函 \(\alpha\) 映射为 \(-\alpha\)

这种将一个反射 (甚至是群元素) 在 \(\langle \,,\,\rangle\) 两侧 “跳来跳去” 的技巧会反复使用。

两个反射

\(s_{\alpha,\alpha^\vee}\), \(t_{\beta,\beta^\vee}\) 是两个反射,且线性泛函 \(\alpha,\beta\) 是线性无关的。考虑 \(s,t\)\(\mathrm{GL}(V)\) 中生成的子群 \(W_{s,t}\),记 \(K=\{\alpha>0\}\cap\{\beta>0\}\)\(\alpha,\beta\) 的正半空间的交。我们希望 \(W_{s,t}\)\(V\) 上的作用有如下性质:

  1. \(K\ne\emptyset\)。(由于我们假定了 \(\alpha,\beta\) 是线性无关的泛函,所以这一点其实是自动满足的)
  2. 对任何 \(w\in W_{s,t},w\ne1\)\(wK\cap K=\emptyset\)

这时我们称 \(W\) 离散地作用在 \(V\) 上,\(K\) 是此作用的基本区域

将“离散地作用”翻译成万花筒的语言,就是我们要求原像 \(K\) 与其所有虚像都不重叠。

记矩阵 \[A=\begin{pmatrix}\langle \alpha,\,\alpha^\vee\rangle&\langle \alpha,\,\beta^\vee\rangle\\ \langle \beta,\,\alpha^\vee\rangle& \langle \beta,\,\beta^\vee\rangle\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&c_{s,t}\\c_{t,s}&2\end{pmatrix}.\] 其中 \(c_{s,t}=\langle \alpha,\,\beta^\vee\rangle\)\(c_{t,s}=\langle \beta,\,\alpha^\vee\rangle\),并记 \(n_{s,t}=c_{s,t}c_{t,s}\)。注意到给 \(\alpha,\alpha^\vee\) 分别乘以非零实数 \(\lambda,\lambda^{-1}\) 保持 \(s\) 不变,给 \(\beta,\beta^\vee\) 分别乘以非零实数 \(\mu,\mu^{-1}\) 保持 \(t\) 不变,但是 \(c_{s,t}\) 变为 \(\lambda/\mu c_{s,t}\)\(c_{t,s}\) 变为 \(\mu/\lambda c_{t,s}\),乘积 \(n_{s,t}\) 保持不变。

\(H_\alpha=\{\alpha=0\},H_\beta=\{\beta=0\}\)\(H_\alpha,H_\beta\) 都是 \(n-1\) 维超平面,\(H=H_\alpha\cap H_\beta\)\(n-2\) 维超平面,\(s,t\) 均保持 \(H\) 不动。在商空间 \(V/H\) 中,\(\alpha,\beta\) 仍然是两个线性无关的泛函,\(H_\alpha,H_\beta\) 是两条不同的直线,\(K/H\) 变成这两条直线所夹的一个锥形区域。

我们有如下引理:

引理\(K\)\(V\) 中的基本区域当且仅当 \(K/H\)\(V/H\) 中的基本区域。

这个证明简单且枯燥,不过我还是加上这一段吧。

\(\Rightarrow\):若不然,\(K/H\) 不是基本区域,则存在 \(w\ne 1\) 使得 \(w(K/H)\cap K/H\) 非空,即存在 \(x,y\in K\) 使得 \(w (x + H) = y + H\), 从而 \(wx - y \in H\)。于是 \(\alpha(wx)=\alpha(y) > 0\)\(\beta(wx) = \beta(y) > 0\),即 \(wx\in K\),这与 \(K\)\(V\) 中的基本区域矛盾。

\(\Leftarrow\):若不然,\(K\) 不是基本区域,则存在 \(w\ne1,x\in K\) 使得 \(wx\in K\),从而 \(wx + H \in K/H\),这与 \(K/H\)\(V/H\) 中的基本区域矛盾。

于是根据引理我们只要对 \(\dim V=2\) 的情况进行讨论。

定理:要使得 \(W_{s,t}\) 离散地作用在 \(V\) 上,则必须有:

  1. \(c_{s,t}=c_{t,s}\) 同时为 0 或者同时小于 0。
  2. \(W_{s,t}\) 是有限群且 \(n_{s,t}=4\cos^2(\pi/m)\),其中 \(m\)\(\geq2\) 的正整数。
  3. \(W_{s,t}\) 是无限群且 \(n_{s,t}\geq 4\)

:把上面的结论翻译成万花筒的语言,就是:

  1. 第一条告诉我们在一个万花筒里面镜子的法向量之间不能是锐角。
  2. 第二条告诉我们如果镜子的夹角是 \(\pi\) 除以一个有理数,则这个有理数必须是整数。
  3. 第三条的含义比较丰富,我们后面再说。

证明:我们先说明必须有 \(c_{s,t}\leq0\)\(c_{t,s}\leq0\)。否则不妨设 \(c_{s,t}=\langle \alpha,\,\beta^\vee\rangle>0\),我们可以给 \(\alpha\)\(\alpha^\vee\) 分别乘以正实数 \(\lambda\)\(1/\lambda\) 使得 \(\langle \alpha,\,\beta^\vee\rangle=2\),于是 \(s\) 也把 \(\beta^\vee\) 映射为 \(-\beta^\vee\)。并记 \(k=\langle \beta,\,\alpha^\vee\rangle\)

接下来的论证思路是这样的:我们要找一个 \(W_{s,t}\) 中的反射 \(w\ne1\) 使得其超平面 \(w=0\) 经过基本区域 \(K\) 的内部,这样自然有 \(wK\cap K\ne\emptyset\),从而得出矛盾。这样的反射 \(w\) 必然可以写成“回文”字符串的形式 (正读反读一样),即形如 \(xsx^{-1}\) 或者 \(xtx^{-1}\) 的形式。

  1. \(k=2\)。这时 \(\langle \alpha,\,\beta^\vee\rangle=\langle \beta,\,\beta^\vee\rangle=2\),于是 \(\beta^\vee\in K\)\(st(\beta^\vee)=\beta^\vee\in K\),这与离散作用矛盾。(这种情况不需要回文形式)

  2. \(k\ne2\)。注意到 \(\alpha^\vee - \beta^\vee\in H_\alpha\),考虑向量

\[v = t(\alpha^\vee-\beta^\vee) =\alpha^\vee - \beta^\vee - (\beta, \alpha^\vee-\beta^\vee)\beta^\vee = \alpha^\vee-(k-1)\beta^\vee\in tH_\alpha.\] 不难验证 \(\alpha(v)=4-2k\)\(\beta(v)=2-k\),由于 \(k\ne2\) 所以 \(v\in K\) 或者 \(-v\in K\) 必有一个成立,于是 \(tH_\alpha\cap K\ne\emptyset\)

考虑反射 \(tst\),其对应的超平面为 \(tH_\alpha\),将 \(t\alpha^\vee\) 变为 \(-t\alpha^\vee\)。由于 \(tH_\alpha\cap K\ne\emptyset\) 从而 \(tstK\cap K\ne\emptyset\),与 \(W\)\(V\) 上的作用是离散的矛盾。

于是我们证明了必须有 \(c_{s,t}\leq0\)\(c_{t,s}\leq0\)。接下来说明 \(c_{s,t}=0\)\(c_{t,s}=0\) 必须同时成立。否则不妨设 \(c_{s,t}=0,c_{t,s}<0\),同样我们可以给 \(\alpha,\alpha^\vee\) 分别乘以正数 \(\lambda,\lambda^{-1}\) 使得 \(c_{t,s}=-2\),从而 \(\langle \beta,\,\alpha^\vee+\beta^\vee\rangle=0\),即 \(\alpha^\vee+\beta^\vee\in H_\beta\)

考虑 \[v=-ts(\alpha^\vee + \beta^\vee) = -t(-\alpha^\vee + \beta^\vee)= \alpha^\vee+3\beta^\vee\in tsH_\beta.\] 不难验证 \(\langle \alpha,\,v\rangle = 2,\langle \beta,\,v\rangle = 4\),于是 \(v\in tsH_\beta\cap K\)。同理关于此超平面的反射为 \(tstst\),它保持 \(v\) 不动所以 \(v\in tststK\cap K\),矛盾。

至此我们知道 \(n_{s,t}\) 必须大于等于 0。下面针对 \(n_{s,t}\) 的值分情况讨论,我们将会看到它们可以分成三种不同的情形:仿射、有限和双曲。

仿射:\(n_{s,t}=4\)

我们可以通过给 \(\alpha,\alpha^\vee\) 分别乘以正数 \(\lambda,\lambda^{-1}\) 使得 \(c_{s,t}=c_{t,s}=-2\),从而 \[A = \begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}.\]

不难计算发现 \(t(\alpha)=\alpha-\langle \beta^\vee,\,\alpha\rangle\beta=\alpha+2\beta\),以此类推有 \[\alpha\xrightarrow{\ t\ }\alpha+2\beta\xrightarrow{\ s\ }3\alpha+2\beta\xrightarrow{\ t\ }3\alpha + 4\beta\xrightarrow{\ s\ }\cdots\] \[\beta\xrightarrow{\ s\ }2\alpha+\beta\xrightarrow{\ t\ }2\alpha+3\beta\xrightarrow{\ s\ }4\alpha + 3\beta\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] 同理 \[\alpha\xrightarrow{\ s\ }-\alpha\xrightarrow{\ t\ }-\alpha-2\beta\xrightarrow{\ s\ }-3\alpha-2\beta\xrightarrow{\ t\ }-3\alpha - 4\beta\xrightarrow{\ s\ }\cdots\] \[\beta\xrightarrow{\ t\ }-\beta\xrightarrow{\ s\ }-2\alpha-\beta\xrightarrow{\ t\ }-2\alpha-3\beta\xrightarrow{\ s\ }-4\alpha-3\beta\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] 是将前面两个链分别取负值,即 \(\{\alpha,\beta\}\)\(W_{s,t}\) 的作用下构成的集合为 \(\Phi=\{m\alpha+n\beta\}\),其中 \(m,n\) 至多相差 1,并且 \(m,n\) 同时非正或者同时非负。\(\Phi\) 叫做 \(W_{s,t}\) 的根系,它由两个不相交的子集组成:\(\Phi=\Phi^+\cup\Phi^-\),其中 \(\Phi^+\) 包含所有非负的线性组合,\(\Phi^-\) 包含所有非正的线性组合,且 \(\Phi^+=-\Phi^-\)\(\Phi^+\) 中的根叫做正根,\(\Phi^-\) 中的根叫做负根

\(\{e_\alpha,e_\beta\}\)\(V\) 的一组关于 \(\alpha,\beta\) 的对偶基: \[\langle \alpha,\,e_\alpha\rangle=\langle \beta,\,e_\beta\rangle=1,\quad \langle \alpha,\,e_\beta\rangle=\langle \beta,\,e_\alpha\rangle=0.\] 从而 \[K=\{ xe_\alpha+ye_\beta\mid x>0,y>0\}\] 为第一象限,\(\alpha^\vee = 2e_\alpha - 2e_\beta\)\(\beta^\vee = -2e_\alpha + 2e_\beta\),即 \(\alpha^\vee=-\beta^\vee\) 且二者均位于直线 \(\ell:x+y=0\) 上。

对任何 \(w\in W_{s,t}\), 我们有 \(v\in wK\Leftrightarrow w^{-1}v\in K\),所以 \[\begin{align*}wK&=\left\{v\in V\colon\ \langle \alpha,\,w^{-1}v\rangle>0 \text{\ and\ } \langle \beta,\,w^{-1}v\rangle>0\right\}\\&=\left\{v\in V\colon\ \langle w\alpha,\,v\rangle>0 \text{\ and\ } \langle w\beta,\,v\rangle>0\right\}\end{align*}\]\(w\ne1\) 时,注意到 \(w\alpha\)\(w\beta\) 必然一个属于 \(\Phi^+\),另一个属于 \(\Phi^-\),不妨设 \(w\alpha=m\alpha+n\beta\in\Phi^-\),于是 \(m\leq0,n\leq0\)\(m,n\) 不全为 0,设 \(v=xe_\alpha+ye_\beta\),则 \[wK\subset \{v\in V\colon\ \langle w\alpha,\,v\rangle> 0 \} =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\ mx+ny > 0\}.\] 显然上式右边与第一象限 \(K\) 的交为空,所以 \(W_{s,t}\) 离散地作用在 \(V\) 上。

为了画图好看我们可以取 \(\{e_\alpha-e_\beta,e_\beta\}\)\(V\) 的一组基,这时 \(\alpha^\vee=(2,0),\beta^\vee=-\alpha^\vee\),二者均位于 \(x\) 轴上且方向相反。超平面 \(H_\alpha\)\(y\) 轴,\(H_\beta\) 为直线 \(y=x\),基本区域 \(K\) 是直线 \(x=0\)\(y=x\) 所夹的锥形区域,如下图所示:

可见 \(K\)\(W_{s,t}\) 的作用下填满了整个上半平面 \(\{y>0\}\),记 \(\overline{K}\)\(K\) 的闭包, \[\mathcal{C}=\bigcup_{w\in W_{s,t}}w\overline{K},\] \(\mathcal{C}\) 叫做 Tits 锥,它由 \(\{y > 0\}\cup\{(0,0)\}\) 组成。

有限:\(0\leq n_{s,t}<4\)

通过调整 \(\alpha,\alpha^\vee\) 使得 \(c_{s,t}=c_{t,s}\),我们得到 \(c_{s,t}=-2\cos\theta,0<\theta\leq\pi/2\)\[A = \begin{pmatrix}2&-2\cos\theta\\-2\cos\theta&2\end{pmatrix}\] 是正定矩阵,于是 \(\{\alpha^\vee, \beta^\vee\}\) 构成 \(V\) 的一组基。我们规定 \(V\) 上的内积 \(\bullet\) 如下:

\[\begin{pmatrix}\alpha^\vee\bullet\alpha^\vee&\alpha^\vee\bullet\beta^\vee\\\beta^\vee\bullet\alpha^\vee&\beta^\vee\bullet\beta^\vee\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-\cos\theta\\-\cos\theta&1\end{pmatrix}=A/2.\] \(V\) 在此内积下成为一个二维欧式平面。

不难验证对任何 \(v\in V\)\[\langle \alpha,\,v\rangle=2(\alpha^\vee\bullet v),\quad \langle \beta,\,v\rangle=2(\beta^\vee\bullet v).\] (只需要对 \(v=\alpha^\vee,\beta^\vee\) 验证即可)

所以 \(\langle \alpha,\,v\rangle=0\Leftrightarrow \alpha^\vee\bullet v=0\)\(\langle \beta,\,v\rangle=0\Leftrightarrow \beta^\vee\bullet v=0\),即 \(\alpha^\vee,\beta^\vee\) 分别是与直线 \(H_\alpha,H_\beta\) 在此内积下垂直的单位法向量,\(s,t\) 是关于镜面 \(H_\alpha,H_\beta\) 的正交反射。由于 \(\alpha^\vee\bullet\beta^\vee=-\cos\theta\) 所以基本区域 \(K\) 的角度为 \(\theta\),于是 \(st\) 是一个角度为 \(2\theta\) 的旋转。要使得 \(W_{s,t}\) 的作用是离散的显然 \(st\) 的阶必须有限,不妨设为 \(m\),则 \(W_{s,t}\) 是二面体群 \(D_m\)\(\theta\) 形如 \(\theta=k\pi/m\),其中 \(k\) 是与 \(m\) 互素的正整数。这里 \(k\) 必须是 1,否则将 \(K\) 绕着原点旋转 \(m\) 次会覆盖平面 \(k>1\) 次,不可能使得 \(wK\cap K=\emptyset\) 对任何 \(w\ne 1\) 成立,所以 \(\theta=\pi/m\)

二面体群 \(D_m\) 是一个 \(2m\) 阶的有限群,其元素为 \[\{\,1,s,t, st,ts,\ldots,\overbrace{sts\cdots}^{m}=\overbrace{tst\cdots}^{m}\,\}.\] Tits 锥 \(\mathcal{C}=\bigcup_{w\in W_{s,t}}w\overline{K}\) 是全空间。

目前为止我们了解了 \(W_{s,t}\) 的结构以及它在 \(V\) 上作用的情况,下面分析 \(V^\ast\) 中根系的结构。

不难计算得出 \[\alpha\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sin \theta}{\sin\theta}\alpha+\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\beta\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\alpha+\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\beta\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] \[\beta\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha+\dfrac{\sin \theta}{\sin\theta}\beta\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\alpha+\dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\beta\xrightarrow{\ s\ }\cdots\] 同理以 \(\alpha\xrightarrow{\ s\ }\)\(\beta\xrightarrow{\ t\ }\) 开始的链不过是分别将上面的两个链取负值,所以 \(\{\alpha,\beta\}\)\(W_{s,t}\) 的作用下的集合为 \[\Phi =\left\{\dfrac{\sin k\theta}{\sin\theta}\alpha + \dfrac{\sin (k\pm 1)\theta}{\sin\theta}\beta,\ k\in\mathbb{Z}\right\}.\] 但是这次 \(\Phi\) 其实是包含 \(2m\) 个元素的有限集,因为 \(k+2m\)\(k\) 对应的是同样的元素,而 \(k+m\) 则是将 \(k\) 对应的元素取负,所以 \(\Phi\) 仍然是两个不交集合的并:\(\Phi=\Phi^+\cup\Phi^-\),其中 \[\Phi^+=\left\{ \dfrac{\sin k\theta}{\sin\theta}\alpha + \dfrac{\sin (k+1)\theta}{\sin\theta}\beta,\ 0\leq k\leq m-1\right\}.\] \[\Phi^-=\left\{ \dfrac{\sin (k+1)\theta}{\sin\theta}\alpha + \dfrac{\sin k\theta}{\sin\theta}\beta,\ m\leq k\leq 2m-1\right\}.\] 并且 \(\Phi^+=-\Phi^-\)。并且同样地 \(\Phi^+\) 的元素都是 \(\alpha,\beta\) 的非负线性组合,\(\Phi^-\) 的元素都是 \(\alpha,\beta\) 的非正线性组合。

双曲:\(n_{s,t}>4\)

我们调整 \(\alpha,\alpha^\vee\) 使得 \(c_{s,t}=c_{t,s}=-2\cosh\theta<-2\),其中 \(\theta>0\) 是实数, \[A = \begin{pmatrix}2&-2\cosh\theta\\-2\cosh\theta&2\end{pmatrix}\] 是不定的。

这次我们还是先来算 \(V^\ast\) 中的根系:不难得到 \[\alpha\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sinh \theta}{\sinh\theta}\alpha+\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\beta\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sinh 3\theta}{\sinh\theta}\alpha+\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\beta\xrightarrow{\ t\ }\cdots\] \[\beta\xrightarrow{\ s\ }\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha+\dfrac{\sinh \theta}{\sinh\theta}\beta\xrightarrow{\ t\ }\dfrac{\sinh 2\theta}{\sinh\theta}\alpha+\dfrac{\sinh 3\theta}{\sinh\theta}\beta\xrightarrow{\ s\ }\cdots\] 于是 \(\{\alpha,\beta\}\)\(W_{s,t}\) 的作用下的集合为 \[\Phi =\left\{\dfrac{\sinh k\theta}{\sinh\theta}\alpha + \dfrac{\sinh (k\pm 1)\theta}{\sinh\theta}\beta,\ k\in\mathbb{Z}\right\}.\] \(\Phi\) 中的元素对任何 \(k\in\mathbb{Z}\) 都不相同,所以是个无限集合,并且也可以分解为正根 \(\Phi^+\) 和负根 \(\Phi^-\) 的并。相应地 \(W_{s,t}\) 是无限群,其元素由 \(s,t\) 以及它们所有的交错乘积组成。

\(n_{s,t}<4\) 的情形类似,\(\{\alpha^\vee, \beta^\vee\}\) 构成 \(V\) 的一组基,我们规定 \(V\) 上的内积 \(\bullet\) 如下:

\[\begin{pmatrix}\alpha^\vee\bullet\alpha^\vee&\alpha^\vee\bullet\beta^\vee\\\beta^\vee\bullet\alpha^\vee&\beta^\vee\bullet\beta^\vee\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-\cosh\theta\\-\cosh\theta&1\end{pmatrix}=A/2.\] \(V\) 在此内积下成为一个二维双曲平面,\(\alpha^\vee,\beta^\vee\) 分别是与直线 \(H_\alpha,H_\beta\) 在此内积 \(\bullet\) 下垂直的单位法向量,\(s,t\) 是关于镜面 \(H_\alpha,H_\beta\) 的正交反射。由于 \(\alpha^\vee\bullet\beta^\vee=-\cosh\theta\) 所以 \(st\) 是一个角度为 \(2\theta\) 的双曲旋转。

仿照仿射的情形不难证明 \(W_{s,t}\)\(V\) 上的作用是离散的。实际上完全可以把仿射情形的证明照抄在这里,它们是一模一样的。唯一的一点细节区别只是把 \(m,n\) 换成 \(\dfrac{\sinh m\theta}{\sinh\theta}\)\(\dfrac{\sinh n\theta}{\sinh\theta}\)

为了画图好看我们再折腾一下 (这些不是数学上必须的)。记 \(t=\cosh\theta>1\),我们将 \(\{\alpha^\vee,\beta^\vee\}\) 正交化得到一组正交基 \[\alpha^\vee_1=\alpha^\vee,\quad \beta^\vee_1=-\frac{t\alpha^\vee+\beta^\vee}{\sqrt{t^2-1}}=-\coth\theta\cdot\alpha^\vee -\mathop{\mathrm{csch}}\theta\cdot\beta^\vee.\] 注意 \(\alpha^\vee_1\bullet\alpha^\vee_1=1\)\(\beta^\vee_1\bullet\beta^\vee_1=-1\)。这不意外,因为这个内积空间是双曲型的,不可能出现两个正交且范数都是 1 的基向量。

\(v\in V\),设 \(v=x\alpha^\vee_1+y\beta^\vee_1\),则内积 \(\bullet\) 在新坐标系 \(\{\alpha^\vee_1,\beta^\vee_1\}\) 下对应的二次型为 \[Q(v) = v\bullet v = x^2 - y^2.\] 在这组新基下,\(\alpha^\vee\) 的坐标为 \((1,0)\)\(H_\alpha\)\(y\) 轴。\(\beta^\vee\) 的坐标为 \((-t,-\sqrt{t^2-1})\)\(H_\beta\) 是直线 \(y=\tfrac{t}{\sqrt{t^2-1}}x=\coth\theta\cdot x\),这印证了基本区域 \(K\) 的双曲角度是 \(\theta\)\(K\) 和它在 \(W_{s,t}\) 作用下的所有像都位于迷向锥 \(Q(v)<0\) 内部,此迷向锥以 \(y=\pm x\) 为边界。

这时 Tits 锥 \(\mathcal{C}=\bigcup_{w\in W_{s,t}}w\overline{K}\) 由迷向锥上半分支的内部和原点组成。

总结

可以看到在仿射和双曲的情形,\(W_{s,t}\) 作为抽象群它们的结构是完全一样的,都是由单位元和 \(s,t\) 的所有交错乘积组成的无限群,但是它们给出的万花筒结构却是不一样的。这提醒我们同样的抽象 Coxeter 群作为反射群可以有不同的表现形式。

在有限、仿射、双曲的情形,Tits 锥分别是全空间、半开空间 + 原点、迷向锥内部 + 原点。这个现象对高维也成立。

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