静电场与 Marden 定理

我昨晚刚完成了一个 Shadertoy 小动画,演示平面几何中的 Marden 定理、复分析中的 Gauss-Lucas 定理以及静电场的关系。请欣赏:

这个动画的含义如下:

  1. 在复平面上不共线的三个点 \(A,B,C\) 处各自放置一个带有单位正电荷,则电场强度为 0 的点都位于 \(\Delta ABC\) 的内部,这样的点有两个,它们是三次复多项式 \(P(z) = (z-A)(z-B)(z-C)\) 的导数 \(P'(z)\) 的零点。

  2. 不仅如此,这两个零点还是一个内切于 \(\Delta ABC\) 的椭圆的两个焦点,此椭圆是所有内切于 \(\Delta ABC\) 的椭圆中面积最大者,并且其与 \(\Delta ABC\) 的三边的切点均为各边中点。这个椭圆叫做 Steiner 内切椭圆

这个动画是受几天前 Albert Chern 的一篇推文启发所作,John Baez 也写了一篇关于这个话题的文章。我是由此才了解到 Marden 定理还有如此有趣的物理学解释,的确大开眼界!

第一个结论也叫做 Gauss-Lucas 定理,它对 \(n\geq2\) 个单位正电荷的情形都是成立的。

在平面上不全共线的 \(n\) 个点 \(a_1,\ldots,a_n\) 处放置若干单位正电荷,这规定了一个平面上的电势函数 \(V(z)\) (标量) 和一个电场 \(\mathbf{E}(z)\) (二维向量场)。电学知识告诉我们,在忽略物理常数意义下有 \[V(z) =\sum_{i=1}^n\ln|z-a_i|=\ln\prod_{i=1}^n|z-a_i|=\ln|P(z)|.\] 其中 \(P(z)=(z-a_1)(z-a_2)\cdots(z-a_n)\) 是以 \(a_1,\ldots,a_n\) 为根的多项式。

此外 \(\mathbf{E}(z) = -\nabla V(z)\) 为电势的梯度向量取负。

问题:怎样确定平面上场强为 0 的点呢?

场强为 0 的点也叫做平衡点鞍点,因为在这一点处的电荷不受电场的库仑力。

答案有点出人意料:平衡点必然是 \(P'(z)\) 的零点,而且这些点都属于 \(a_1,\ldots,a_n\) 的凸包!

注意 \(V(z)\)\(\ln P(z) = \ln |P(z)| + i\arg{P(z)}=u+iv\) 的实部,而 \(\ln P(z)\)\(a_1,\ldots,a_n\) 为极点,所以 \(V(z)\) 在除去这些点外的区域上是调和的。由 Cauchy-Riemann 方程不难看出满足 \(\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial y}=0\) 的点都是 \((\ln P(z))'=P'(z)/P(z)\) 的零点,即平衡点必然都是 \(P'(z)\) 的零点。而由 Gauss-Lucas 定理,任何复多项式 \(f\) 的导数的零点都属于 \(f\) 的零点构成的凸包!

John Baez 的文章中利用凸集分离定理给出了 Gauss-Lucas 定理的一个简洁证明。

需要注意的是,反过来 \(P'(z)\) 的零点未必都是电场的平衡点,当 \(P(z)\) 有重根时,重根也是 \(P'(z)\) 的零点,但不是 \(P'(z)/P(z)\) 的零点,所以不是平衡点。

此外平衡点是鞍点 (saddle point) 是由于 \(V(z)\) 的调和性质,其不存在局部的极大极小值,所以使得 \(\nabla V=0\) 的点都是鞍点。

在三个点电荷 \(A,B,C\) 的情形,我们知道了场强为 0 的点必然位于 \(\Delta ABC\) 的内部,且是多项式 \(P(z) = (z-A)(z-B)(z-C)\) 的导数 \(P'(z)\) 的零点。那关于这两个点的具体位置我们可以说什么吗?这就是优美的 Marden 定理,要表述这个定理,我们需要先介绍 Steiner 内切椭圆的概念:

Steiner inellipse:在所有内切于 \(\Delta ABC\) 的椭圆中,存在唯一的一个面积最大者,叫做 Steiner inellipse,此椭圆与 \(\Delta ABC\) 三边的切点为各边的中点。

Marden 定理将复多项式的根与 Steiner inellipse 联系起来:

Marden 定理:复多项式 \(P(z)=(z-A)(z-B)(z-C)\) 的导数 \(P'(z)\) 的两个零点正是 \(\Delta ABC\) 的 Steiner inellipse 的两个焦点。

Steiner inellipse 和 Marden 定理的证明并不复杂,美国数学月刊上出现过两篇介绍其证明的文章,都非常值得一读:

  1. Triangles, Ellipses, and Cubic Polynomials.

  2. An Elementary Proof of Marden's Theorem.

其中第一篇文章采用了复数和仿射变换的途径,第二篇则使用了椭圆的光学性质。

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